Irreduzibilität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien:
k = [mm] \IF_{2}(t)
[/mm]
f = [mm] X^4 [/mm] + [mm] tX^2 [/mm] + t [mm] \in [/mm] k[X]
a eine Nullstelle von f in einem algebr. Abschluß von k
K = k(a)
Bestimme den Erweiterungsgrad der Körpererweiterung K über k. |
Die Fälle mit t [mm] \in \IF_{2} [/mm] sind klar, also sei t [mm] \not\in \IF_{2}.
[/mm]
Ich will jetzt irgendwie zeigen, dass f irreduzibel in k[X] ist - am liebsten per Eisensteinkriterium.
Problem ist das t nicht weiter beschrieben ist - t muss nicht einmal algebraisch über [mm] \IF_{2} [/mm] sein.
Meine Frage ist: Ist dann t in k = [mm] \IF_{2}(t) [/mm] prim? Und wenn ja, warum genau?
Wenn dem so wäre, dann würde die Irreduzibilität mit Eisenstein und t als Primelement folgen.
Wenn t transzendent über [mm] \IF_{2} [/mm] wäre, dann wäre k isomorph zu [mm] \IF_{2}(X) [/mm] und wir könnten also t als "Monom" X betrachten und diese sind prim in [mm] \IF_{2}(X), [/mm] aber für den algebraischen Fall bin ich mir nicht mehr so sicher...
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Fr 18.05.2012 | | Autor: | teo |
> Seien:
> k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm]
> f = [mm]X^4[/mm] + [mm]tX^2[/mm] + t [mm]\in[/mm] k[X]
> a eine Nullstelle von f in einem algebr. Abschluß von k
> K = k(a)
>
> Bestimme den Erweiterungsgrad der Körpererweiterung K
> über k.
> Die Fälle mit t [mm]\in \IF_{2}[/mm] sind klar, also sei t [mm]\not\in \IF_{2}.[/mm]
>
> Ich will jetzt irgendwie zeigen, dass f irreduzibel in k[X]
> ist - am liebsten per Eisensteinkriterium.
> Problem ist das t nicht weiter beschrieben ist - t muss
> nicht einmal algebraisch über [mm]\IF_{2}[/mm] sein.
> Meine Frage ist: Ist dann t in k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm] prim? Und
> wenn ja, warum genau?
> Wenn dem so wäre, dann würde die Irreduzibilität mit
> Eisenstein und t als Primelement folgen.
> Wenn t transzendent über [mm]\IF_{2}[/mm] wäre, dann wäre k
> isomorph zu [mm]\IF_{2}(X)[/mm] und wir könnten also t als "Monom"
> X betrachten und diese sind prim in [mm]\IF_{2}(X),[/mm] aber für
> den algebraischen Fall bin ich mir nicht mehr so sicher...
>
> Vielen Dank!
Hallo,
[mm]\IF_2[/mm] ist ein Körper also Hauptidealbereich also ist das von t erzeugte Ideal maximal und insbesondere prim.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 20.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien:
> k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm]
> f = [mm]X^4[/mm] + [mm]tX^2[/mm] + t [mm]\in[/mm] k[X]
> a eine Nullstelle von f in einem algebr. Abschluß von k
> K = k(a)
>
> Bestimme den Erweiterungsgrad der Körpererweiterung K
> über k.
>
> Die Fälle mit t [mm]\in \IF_{2}[/mm] sind klar, also sei t [mm]\not\in \IF_{2}.[/mm]
Moment! $t$ ist eine Unbestimmte ueber [mm] $\IF_2$, [/mm] also ein transzendentes Element. Damit gilt insbesondere $t [mm] \not\in \IF_2$.
[/mm]
> Ich will jetzt irgendwie zeigen, dass f irreduzibel in k[X]
> ist - am liebsten per Eisensteinkriterium.
> Problem ist das t nicht weiter beschrieben ist - t muss
> nicht einmal algebraisch über [mm]\IF_{2}[/mm] sein.
Nein. $t$ ist transzendent ueber [mm] $\IF_2$.
[/mm]
> Meine Frage ist: Ist dann t in k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm] prim? Und
> wenn ja, warum genau?
Da [mm] $\IF_2(t)$ [/mm] ein Koerper ist, ist kein Element dort drinnen prim. Alle Elemente sind entweder 0 oder Einheiten.
> Wenn dem so wäre, dann würde die Irreduzibilität mit
> Eisenstein und t als Primelement folgen.
Du kannst Eisenstein verwenden: und zwar ueber dem Ring [mm] $\IF_2[/mm] [t]$. Dort ist $t$ prim. Der Quotientenkoerper davon ist $k$, und mit dem Satz von Gauss ist ein primitives Polynom in [mm] $(\IF_2[/mm] [t])[X]$ genau dann irreduzibel, wenn es in $k[X]$ irreduzibel ist.
> Wenn t transzendent über [mm]\IF_{2}[/mm] wäre, dann wäre k
> isomorph zu [mm]\IF_{2}(X)[/mm] und wir könnten also t als "Monom"
Du solltest hier nicht $X$ verwenden, sondern eine andere Variablenbezeichnung.
> X betrachten und diese sind prim in [mm]\IF_{2}(X),[/mm] aber für
In einem Koerper gibt es keine Primelemente!!!
> den algebraischen Fall bin ich mir nicht mehr so sicher...
Wenn du $t$ als algebraisches Element ueber [mm] $\IF_2$ [/mm] auffassen willst, dann ist $k$ ein endlicher Koerper, und ebenso der Zerfaellungskoerper vom Polynom. Dort ist der Frobeniushomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] bijektiv, womit [mm] $X^4 [/mm] + t [mm] X^2 [/mm] + t = [mm] (X^2 [/mm] + [mm] \varphi^{-1}(t) [/mm] X + [mm] \varphi^{-1}(t))^2$ [/mm] ist. Dabei liegt [mm] $\varphi^{-1}(t)$ [/mm] in $k$ selber. Somit ist das Polynom insbesondere nicht irreduzibel. Damit weisst du, dass $[k(a) : k] [mm] \le [/mm] 2$ ist. Ob es gleich 1 oder gleich 2 ist haengt davon ab, ob [mm] $X^2 [/mm] + [mm] \varphi^{-1}(t) [/mm] X + [mm] \varphi^{-1}(t)$ [/mm] eine Nullstelle in [mm] $\IF_2(t)$ [/mm] hat. Das ist dann nicht mehr so einfach so untersuchen, glaube ich...
LG Felix
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