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| Aufgabe | Zeigen sie das folgende Polynome irreduzibel sind:
(a) [mm] X^{17}+Y^3-8, [/mm] mittels Eisensteinkriterium [mm] \IQ[X,Y]
[/mm]
(b) [mm] 3/8X^5-X^3+6X^2+4X+8, \IQ[X] [/mm] |
Hallo,
bin grade in meiner Klausurvorbereitung und irgendwie versteh ich die 2 Aufgaben nicht.
Bei (a) ist mein Problem das ich immer dachte, dass in so einem Fall X und Y, Y einfach als Primelement sehen darf. Leider fehlt ja bei -8 das Y und somit wäre es nicht durch dieses teilbar, darum komm ich da nicht weiter.
Bei (b) funktioniert Eisenstein auch einfach nicht so, da vor [mm] X^3 [/mm] kein durch eine Primzahl teilbarer Faktor steht.
Kann mir jemand sagen wie das hier funktioniert?
Danke!
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Sa 06.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen sie das folgende Polynome irreduzibel sind:
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> (a) [mm]X^{17}+Y^3-8,[/mm] mittels Eisensteinkriterium [mm]\IQ[X,Y][/mm]
> (b) [mm]3/8X^5-X^3+6X^2+4X+8, \IQ[X][/mm]
> Hallo,
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> bin grade in meiner Klausurvorbereitung und irgendwie
> versteh ich die 2 Aufgaben nicht.
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> Bei (a) ist mein Problem das ich immer dachte, dass in so
> einem Fall X und Y, Y einfach als Primelement sehen darf.
> Leider fehlt ja bei -8 das Y und somit wäre es nicht durch
> dieses teilbar, darum komm ich da nicht weiter.
Interpretier das Polynom doch als ein Element aus [mm] $(\IQ[Y])[X]$. [/mm] Dann musst du zeigen, dass es ein Primelement aus [mm] $\IQ[Y]$ [/mm] gibt, welches [mm] $Y^3 [/mm] - 8$ genau einmal teilt.
Alternativ kannst du das Polynom als ein Element aus [mm] $(\IQ[X])[Y]$ [/mm] auffassen; dann musst du zeigen, dass es ein Primelement aus [mm] $\IQ[X]$ [/mm] gibt, welches [mm] $X^{17} [/mm] - 8$ genau einmal teilt.
> Bei (b) funktioniert Eisenstein auch einfach nicht so, da
> vor [mm]X^3[/mm] kein durch eine Primzahl teilbarer Faktor steht.
Na, es funktioniert vor allem deswegen nicht, weil [mm] $\IQ$ [/mm] keine Primelemente hat.
Wenn du das Polynom mit 8 multiplizierst, erhaelst du ein primitives Polynom in [mm] $\IZ[X]$; [/mm] dieses ist dort genau dann irreduzibel, wenn dein urspruengliches Polynom irreduzibel ist (Gauss!).
Arbeite doch mal mit dem weiter... (Eisenstein wird dir jedoch nicht direkt helfen. Aber du kennst sicher noch mehr Kriterien.)
LG Felix
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Tut mir leid, ich begreif es nicht. Bin mir auch sehr sicher, dass wir es bei (b) mit Eisenstein machen müssen, ich dachte vllt, kann man etwas substituieren, aber damit hatte ich auch keinen Erfolg.
Und sie wie ich das jetzt bei (a) verstanden hab, wäre doch dann [mm] Y^3-8 [/mm] schon ein Teiler oder nicht?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 07.02.2010 | | Autor: | Giogio |
Hi,
Also, (b) hatten wir Freitag im Seminar *g* Du multiplizierst mit 8, um in Z[X] zu kommen, und dann Substituiere X := 2X'. Danach noch den ggT der Koeffizienten wegkürzen und du hast dein Eisenstein-Polynom.
Zu (a) denke ich: Welche Primelemente hat Y³-8?
Auf jeden Fall hats die Nullstelle Y=2, also ist (Y-2) Primelement (prim, da irreduzibel (da linear) und in Q[Y]), => Y³-8 = (Y-2)(Y²+2Y+4); der hintere Faktor wird bei Y=2 nicht 0 [=> (Y-2)² teilt nicht Y³-8]... und damit ist (Y-2) das gesuchte Primelement für Eisenstein.
Gruss,
Mitleipzigerin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 07.02.2010 | | Autor: | Leipziger |
Ich danke dir Mitleipzigerin ;) viel Glück Morgen dann :)
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