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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 18.06.2009 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | zeigen sie die Irreduzibilität folgender polynome:
[mm] a)X^5-3*X^4+3
[/mm]
[mm] b)X^3+2*X+1
[/mm]
[mm] c)2*X^4+200*X^3+2000*X^2+20000*X+20 [/mm] |
Hallo,
Also bei der c)dachte ich an das Eisensteinkriterium.Demnach hat man doch gezeigt, dass es für p=10, irreduzibel ist oder?aber bei der a) und b) habe ich noch so meine probleme.ich hab mir folgendes gedacht:wenn ich zeige,dass das polynom in [mm] \IZ_{2}[X] [/mm] irreduzibel ist,folgt daraus dass es in [mm] \IZ[X] [/mm] und damit in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel ist.dann kann man doch sagen,dass [mm] X^5-3*X^4+3 [/mm] = [mm] X^5-X^4+1 [/mm] ist in [mm] \IZ_{2} [/mm] ?und dieses Polynom hat doch keine nullstellen in [mm] \IZ_{2}?und [/mm] ich habe auch keine polynome gefunden,die als produkt das polynom ergeben.wie komm ich weiter?bei der b) hat man doch in [mm] \IZ_{2}, X^3+1?
[/mm]
Ich wär euch sehr danlkbar über hilfe.
Viele Grüße
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Hallo mini111,
> zeigen sie die Irreduzibilität folgender polynome:
> [mm]a)X^5-3*X^4+3[/mm]
> [mm]b)X^3+2*X+1[/mm]
> [mm]c)2*X^4+200*X^3+2000*X^2+20000*X+20[/mm]
> Hallo,
>
> Also bei der c)dachte ich an das
> Eisensteinkriterium.Demnach hat man doch gezeigt, dass es
> für p=10, irreduzibel ist oder?
Naja, die Idee ist ja gut, aber 10 ist meines Wissens keine Primzahl 
Welche tut es aber?
> aber bei der a) und b) habe
> ich noch so meine probleme.ich hab mir folgendes
> gedacht:wenn ich zeige,dass das polynom in [mm]\IZ_{2}[X][/mm]
> irreduzibel ist,folgt daraus dass es in [mm]\IZ[X][/mm] und damit in
> [mm]\IQ[X][/mm] irreduzibel ist.dann kann man doch sagen,dass
> [mm]X^5-3*X^4+3[/mm] = [mm]X^5-X^4+1[/mm]
Ja, aber eigentlich ist [mm] $-3\equiv \red{+}1 [/mm] \ [mm] \mod [/mm] 2$, also [mm] $X^5-3X^4+1\equiv X^5+X^4+1 [/mm] \ [mm] \mod [/mm] 2$
Aber da [mm] $-1\equiv [/mm] +1 \ [mm] \mod [/mm] 2$ ist, spielt es keine Rolle und macht für das Einsetzen der möglichen Werte keine Probleme
Aber es geht auch direkt mit Eisenstein ($p=3$)
> ist in [mm]\IZ_{2}[/mm] ?und dieses Polynom
> hat doch keine nullstellen in [mm]\IZ_{2}?und[/mm] ich habe auch
> keine polynome gefunden,die als produkt das polynom
> ergeben.wie komm ich weiter?bei der b) hat man doch in
> [mm]\IZ_{2}, X^3+1?[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, hat man, das Ding ist aber leider über [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] reduzibel, [mm] $\overline{1}$ [/mm] ist Nullstelle ...
Vllt. "reduzierst" du es mal über [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] ...
> Ich wär euch sehr danlkbar über hilfe.
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:04 Fr 19.06.2009 | | Autor: | mini111 |
Morgen schachuzipus,
....uups hab nicht daran gedacht dass es eine primzahl sein muss.ok,dann müsste es doch für p=5 gehen.bei der b) hab ich noch so meine probleme.also du sagtest,dass ich es reduzieren soll über [mm] \IZ/3*\IZ.deshalb [/mm] habe ich die nullstellen in [mm] \IZ/3*\IZ [/mm] gesucht aber keine gefunden.ich wüsste aber nicht wie ich das weiter prüfen soll....ach ja,und danke für deine hilfe.
lieben gruß
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> b) hab
> ich noch so meine probleme.also du sagtest,dass ich es
> reduzieren soll über [mm]\IZ/3*\IZ.deshalb[/mm] habe ich die
> nullstellen in [mm]\IZ/3*\IZ[/mm] gesucht aber keine gefunden.ich
> wüsste aber nicht wie ich das weiter prüfen soll....ach
> ja,und danke für deine hilfe.
Hallo,
ich bin ja nicht so drin in der Materie, aber
Dein polynom hat den Grad 3, und wenn Du keine Nullstellen in [mm]\IZ/3*\IZ[/mm] gefunden hast, ist es doch irreduzibel in [mm]\IZ/3*\IZ[/mm][x],
und damit irreduzibel in [mm] \IQ[x].
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:27 Fr 19.06.2009 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ja genau, das müsste damit schon fertig sein wegen der gradformel,denke ich.?Was gilt denn für dieses polynom zb.: [mm] X^5-X^2+1 [/mm] (zz.irrr.in [mm] \IQ[X])?
[/mm]
da man hier für modulo 3 eine nullstelle hat,ist das ja reduzibel in [mm] \IZ[x] [/mm] und nun?diese feststellung bringt einen ja irgendwie gar nicht weiter...oder?hhmmm,ein tipp wär nicht schlecht;)
Lieben gruß
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> Was gilt denn für dieses polynom zb.:
> [mm]X^5-X^2+1[/mm] (zz.irrr.in [mm]\IQ[X])?[/mm]
> da man hier für modulo 3 eine nullstelle hat,ist das ja
> reduzibel in [mm]\IZ[x][/mm] und nun?diese feststellung bringt einen
> ja irgendwie gar nicht weiter...oder?
Hallo,
nein, mit dieser Feststellung ist man so schlau wie zuvor.
Wenn ich mich recht entsinne, ist es doch so, daß man statt [mm] X^5-X^2+1 [/mm] auch [mm] (x+1)^5 -(x+1)^2+1 [/mm] oder [mm] (x-+1)^5 -(x-1)^2+1 [/mm] auf Irreduzibilität prüfen kann. (Guck' mal nach, ob Du so einen Satz hast.)
Bloß hier bringt das nicht, weil das entstehende Polynom reduzibel ist. Man ist also so schlau wie zuvor.
Ich (aber bedenke, daß ich nicht so ganz am Ball bin!) würde jetzt total hausbacken vorgehen.
Wenn man ein Polynom vom Grad 1 herausziehen könnte, müßte [mm] X^5-X^2+1 [/mm] eine rationale Nullstelle haben, diese wäre ganzzahlig und ein Teiler von 1. Bleiben also die Kandidaten 1 und -1, welche beide keine Nullstellen sind.
Also kann man keinen linearen Faktor abspalten, sondern das Polynom wäre im Falle der Reduzibilität in ein Produkt aus Polynomen vom grad 2 und 3 zerlegbar.
Das würde ich nun zu widerlegen versuchen - vielleicht mit einem Koeffizientenvergleich
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Fr 19.06.2009 | | Autor: | mini111 |
hallo,
also das mit dem koeffizientenvergleich versteh ich nicht ganz aber da wie du ja schon sagtest es keine polynome vom grad 1 gibt,die f teilen,müssten es ja polynome vom grad 2 und 3 geben.kann man dann nicht einfach die polynome vom grad 2 über [mm] \IZ_{2} [/mm] suchen und welche von denen irredzuibel sind,durch f teilen und schauen obs auf geht oder nicht.das wären ja dann
[mm] 1+x^2
[/mm]
[mm] 1+x+x^2
[/mm]
[mm] x^2
[/mm]
und die haben alle eine nullstelle bis auf [mm] 1+x+x^2,also [/mm] dieses polynom durch [mm] x^5+x^2+1 [/mm] teilen?bei mir kommt da dann [mm] x^3-x^2+1 [/mm] heraus aber irgendwie geht das dann gar nicht auf wenn ich das mit f multipliziere.kann man das denn so machen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Fr 19.06.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> also das mit dem koeffizientenvergleich versteh ich nicht
> ganz aber da wie du ja schon sagtest es keine polynome vom
> grad 1 gibt,die f teilen,müssten es ja polynome vom grad 2
> und 3 geben.kann man dann nicht einfach die polynome vom
> grad 2 über [mm]\IZ_{2}[/mm] suchen und welche von denen irredzuibel
> sind,durch f teilen
Umgekehrt, du teilst f durch die irreduziblen Polynome vom Grad 2 mod 2.
> und schauen obs auf geht oder nicht.das
> wären ja dann
> [mm]1+x^2[/mm]
> [mm]1+x+x^2[/mm]
> [mm]x^2[/mm]
und $x + [mm] x^2$
[/mm]
> und die haben alle eine nullstelle bis auf [mm] $1+x+x^2$, [/mm] also
ist das das einzige irreduzible vom Grad 2
> dieses polynom durch [mm]x^5+x^2+1[/mm] teilen?bei mir kommt da dann
> [mm]x^3-x^2+1[/mm] heraus aber irgendwie geht das dann gar nicht auf
Erstens ist mod 2 + und - dasselbe, und zweitens ergibt die Division [mm] $(x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1) : [mm] (x^2 [/mm] + x + 1) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2$ [/mm] Rest 1, geht also nicht auf.
Damit bist du fertig.
Gruß
Dieter
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:16 Fr 19.06.2009 | | Autor: | mini111 |
hallo nochmal,
ahsoo verstehe...was macht man denn zb mit diesem polynom(mit 2 variabeln):
[mm] X^2*Y+X*Y^2-X-Y+1 [/mm] (z.z. irr.in [mm] \IQ[X,Y])
[/mm]
das da noch ein Y ist,irritiert mich irgendwie....ein kleiner tipp vlt?
ach ja und danke für die hilfen!!!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 21.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 21.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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