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Wir haben im Studium als Irreduzibilitätskriterien das Kriterium nach Eisenstein gemacht und das Reduktionskriterium. Ich habe zwar die beiden so mehr oder weniger verstanden, nur versteh ich nicht, wann ich welches anwenden muss.... Kann mir da vielleicht jemand helfen??
Und gibt es vielleicht einen Trick oder irgendeinen Tipp, wie man am besten sehen kann, wie ein Polynom in Linearfaktoren zerfällt??
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 So 11.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Anna!
Man kann nicht allgemein sagen, wann man das Eisensteinkriterium und wann man das Reduktionskriterium anwendet. Das Eisensteinkriterium kann man ja schnell überprüfen, daher sollte man damit vielleicht starten. Ist es nicht erfüllt, so heißt das ja nicht, dass das Polynom reduzibel ist. Es heißt nur, dass man nicht nachweisen konnte, dass es irreduzibel ist. Dann nimmt man sich das Reduktionsverfahren vor. Besonders einfach ist das im Falle des Ringes [mm] $\IZ[X]$, [/mm] denn dann man ja einfach modulo irgendwelcher Primzahlen reduzieren und zu [mm] $\IF_p[X]$ [/mm] übergehen.
Beispiel:
$f(X)= [mm] X^4 [/mm] + [mm] 3X^2 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] - 2X + 1 [mm] \in \IZ[X]$
[/mm]
ist irreduzibel, da
[mm] $\bar{f}[X] [/mm] = [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + [mm] \bar{1} \in \IF_3[X]$
[/mm]
irreduzibel ist.
Aber es gibt auch noch andere Irreduzibilitätskriterien, z.B. den Satz von Gauß:
Es sei $R$ ein faktorieller Ring mit dem Quotientenkörper $K$ und [mm] $N\subset [/mm] R$ eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Ist $f [mm] \in [/mm] R[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $>0$, dann ist $f$ auch in [mm] $R_N[X]$ [/mm] irreduzibel, Insbesondere ist $f$ in $K[X]$ irreduzibel.
Ein Kriterium, mit dem man sofort überprüfen kann, ob ein Polynom (über einem beliebigen faktoriellen Ring) in Linearfaktoren zerfällt, ist mir nicht bekannt.
Liebe Grüße
Stefan
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Alles klar, vielen Dank!! Hast mir sehr weitergeholfen!
Lieben Gruß
anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo Stefan,
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> [mm]f(X)= X^4 + 3X^2 + X^2 + X^2 - 2X + 1 \in \IZ[X][/mm]
>
> ist irreduzibel, da
>
> [mm]\bar{f}[X] = X^4 + X^2 + X + \bar{1} \in \IF_3[X][/mm]
>
>
> irreduzibel ist (es besitzt ja keine Nullstelle in
> [mm]\IF_3[/mm]).
Die Aussage stimmt, deine Begründung aber nicht. 
[mm] \bar{f}(X) [/mm] könnte ja noch quadratische Teiler haben (was es hier nicht hat).
Zum Beispiel ist
$f(X) = [mm] X^4 [/mm] - [mm] X^2 [/mm] + 1$
in [mm] $\IF_3[X]$ [/mm] reduzibel, obwohl es keine Nullstellen hat.
Lieben Gruss,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Ja, Danke, stimmt. ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
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