Irreduzibel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Sei R ein Ring. Ein Element x [mm] \in [/mm] R heißt irreduzibel, falls x [mm] \not= [/mm] 0,
x [mm] \notin R^x, [/mm] und
x = ab mit a, b [mm] \in [/mm] R => a [mm] \in R^x [/mm] oder $b [mm] \in [/mm] R^x$ |
Hallo Leute,
In meinem Skript steht, dass jedes Polynom mit Grad 1 Irreduzibel ist. Ich betrachte nun einfach mal $P=X+1$
Dieses ist ungleich 0 und auch kein Element von [mm] R^x [/mm] da kein Element y [mm] \in \IR[X] [/mm] existiert, sodass (X+1)*y=1 gilt. Nun muss ich ja laut Definition ein a und b finden, sodass X+1=a*b ist, da fällt mir aber nur a=1 und b=X+1 ein, aber 1 [mm] \in \IR[X]^x [/mm] in jedem Fall, somit wäre jedes Polynom irreduzibel, was auch Schwachsinn ist, was muss man beim "zerlegen" noch beachten?
Danke schonmal!
(Und sorry für die vielen Threads)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei R ein Ring. Ein Element x [mm]\in[/mm] R heißt irreduzibel,
> falls x [mm]\not=[/mm] 0,
> x [mm]\notin R^x,[/mm] und
> x = ab mit a, b [mm]\in[/mm] R => a [mm]\in R^x[/mm] oder [mm]b \in R^x[/mm]
> Hallo
> Leute,
>
> In meinem Skript steht, dass jedes Polynom mit Grad 1
> Irreduzibel ist. Ich betrachte nun einfach mal [mm]P=X+1[/mm]
>
> Dieses ist ungleich 0 und auch kein Element von [mm]R^x[/mm] da kein
> Element y [mm]\in \IR[X][/mm] existiert, sodass (X+1)*y=1 gilt. Nun
> muss ich ja laut Definition ein a und b finden, sodass
> X+1=a*b ist, da fällt mir aber nur a=1 und b=X+1 ein, aber
> 1 [mm]\in \IR[X]^x[/mm] in jedem Fall, somit wäre jedes Polynom
> irreduzibel, was auch Schwachsinn ist, was muss man beim
> "zerlegen" noch beachten?
na, Du hast doch nur eine Darstellung [mm] $X+1=a*b\,$ [/mm] betrachtet. Für jede Darstellung $X+1=a*b$ muss doch gelten, dass $a [mm] \in R^x$ [/mm] oder [mm] $b\in R^x$ [/mm] (bei Wiki steht sogar "entweder $a [mm] \in R^x$ [/mm] oder $b [mm] \in R^x$") [/mm] - erst dann könntest Du sagen, dass $X+1$ irreduzibel.
P.S.
Das ganze ist also mehr ein sprachliches Missverständnis - Du liest "Wenn eine Darstellung [mm] $X+1=ab\,$ [/mm] existiert mit den Eigenschaften ..., dann folgt..."
Aber die Symbolik meint: "Wenn man IRGENDEINE Darstellung [mm] $X+1=a*b\,$ [/mm] hat, dann muss bei dieser schon folgen, dass ..."
P.P.S.
Auch ich "stolpere" gerne mal über diese Symbolik und mir passiert dann ähnliches wie Dir. Ich selber bin ein Verfechter des geschriebenen Wortes oder des Benutzens eines "für alle"-Zeichens in solchen Situationen.
Aber wenn wir ehrlich sind, kennen wir das ganze schon lange und hatten uns bisher nie dran gestört. Schon in Schulzeiten stand mal irgendwo
$$r < 0 [mm] \text{ und }s [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r*s > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Das bedeutet ja auch nicht, dass, wenn es eine Zahl $r < [mm] 0\,$ [/mm] und eine Zahl $s < 0$ gibt (also ein Zahlenpaar [mm] $(r,s)\,$ [/mm] mit $r,s < [mm] 0\,$), [/mm] dass für dieses Zahlenpaar dann $r*s > 0$ erfüllt ist. Sondern es meint (sogar): Für alle [mm] $r,s\,$ [/mm] mit $r,s < 0$ gilt...
(Noch klarer wird die Analogie meines Beispiels zu der Dir vorliegenden Definition vielleicht so:
$$f=r*s [mm] \text{ mit }r,s [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f > [mm] 0\,.$$
[/mm]
D.h. "Für jede Darstellung $f=r*s$ mit $r,s < [mm] 0\,$ [/mm] gilt $f > [mm] 0\,.$"
[/mm]
Denn rein logisch steht da symbolisch:
Wenn [mm] $f=r*s\,$ [/mm] ist und dabei $r,s < [mm] 0\,$ [/mm] sind, dann folgt schon [mm] $f>0\,.$ [/mm] (Die Negation dieser Aussage wäre: "Man kann [mm] $f=r*s\,$ [/mm] mit $r,s < [mm] 0\,$ [/mm] schreiben und trotzdem ist $f=r*s [mm] \le 0\,.$" [/mm] Gleichbedeutend dazu: "Es gibt ein Zahlenpaar [mm] $(r,s)\,$ [/mm] mit $r,s < [mm] 0\,$ [/mm] und $f=r*s [mm] \le 0\,.$"))
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich verstehe worauf du hinaus willst, vielen Dank. Für mich sind diese Feinheiten nicht so ganz einzusehen, da ich ja noch ziemlich am Anfang stehe, aber wenn mir das jemand sagt, merke ich es mir. Fände es halt auch klasse, wenn das so im Skript stehen würde, weil ich mich sehr strikt daran halte und sowas mich dann schon etwas kirre macht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe worauf du hinaus willst, vielen Dank. Für
> mich sind diese Feinheiten nicht so ganz einzusehen, da ich
> ja noch ziemlich am Anfang stehe, aber wenn mir das jemand
> sagt, merke ich es mir. Fände es halt auch klasse, wenn
> das so im Skript stehen würde, weil ich mich sehr strikt
> daran halte und sowas mich dann schon etwas kirre macht!
es ist ja nicht falsch, was im Skript steht. Und meist ist einfach das Problem,
dass jemand, der sowas in seinem Skript schreibt, sich diese Schreibweise
schon so angewöhnt hat, dass für ihn Dein Missverständnis dieser
Notation fast unverständlich wäre. Er wird halt vermutlich genau solche
Beispiele bringen, wie ich es getan habe:
"Ja, aber aus der Schule wissen Sie doch auch, dass $r [mm] \not=0 \Rightarrow r^2 \not=0$ [/mm] nicht nur die Existenz einer solchen Zahl meint..."
Tipp: Merk's Dir, und eine der besten Methoden, es zu verinnerlichen, ist,
wenn Du nochmal über diese "reine Folgerungssymbolik" stolperst, Dir
immer das ganze ausführlich in Worten dazuzuschreiben:
Etwa "Für $M [mm] \not=0$ [/mm] heißt $R [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ symmetrisch, wenn $a,b [mm] \in [/mm] M$ und $(a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (b,a) [mm] \in R\,.$"
[/mm]
Also schreibst Du das für Dich etwa so auf: "Für (irgendeine Menge) $M [mm] \not=\emptyset$ [/mm] heißt $R [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ symmetrisch, wenn gilt: Für alle $a,b [mm] \in [/mm] M$ mit $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ muss schon $(b,a) [mm] \in [/mm] R$ folgen."
Nebenbei: Am Anfang meines Studiums hatte ich meinen Prof. gefragt: "Warum schreibt man eigentlich in den Definitionen nie "genau dann"? Also etwa: 'Eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] heißt genau dann stetig in [mm] $x\,$ [/mm] ihres Definitionsbereiches, wenn...'
Das müßte man eigentlich doch so definieren..."
Er meinte: "Nein, wieso? Das steckt doch in dem "heißt" mit drin".
Was ich damit sagen will: Manchmal sind es wirklich Lapalien, die einen verwirren, aber die andere für selbstverständlich halten. Mir war nie klar, dass "heißt" synonym für "definitionsgemäß genau dann" verwendet wird, und ich fragte mich manchmal, warum ich nun auch das 'rückwärts' folgern darf, wenn's in der Definition doch nur in der einen Richtung steht. Also mir war schon klar, was da gemacht wurde. Aber ich dachte einfach: "Sauber steht das aber in den Definitionen nicht drin."
Doch, stand es. Für mich war es nur eine "falsch gelernte Vokabel", aber die hatte mich anfangs dann doch schon so manchmal verwirrt!!
(Und ich wette drauf, dass hier fast keiner versteht, wieso ich das missverstehen konnte ^^)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also $x+1$ ist wirklich irreduzibel. Ich nehmen mal an, dass R ein Integritätsring ist, d.h. falls [mm] $a,b\not=0$, [/mm] so ist [mm] $a*b\not=0$.
[/mm]
Dann mach einfach den Ansatz [mm] x+1=(a_nx^n+...+a_0)*(b_mx^m+...+b_0)=...
[/mm]
Dann siehst du, dass n=0 und m=1 oder n=1 und m=0 sein muss. Damit ist ein Polynom immer konstant und auch eine Einheit.
Das heißt, dass du dir auch gar keine andere Zerlegung ausdenken kannst, weil es einfach keine gibt!
Anders ist es bei [mm] p(x)=x^2+2*x+1 \in \IZ[x] [/mm] meinetwegen.
Natürlich gibt es hier auch die Zerlegung p(x)=1*p(x), aber die Definition von irreduzibel sagt ja, dass in JEDER Zerlegung von p eine Einheit bei sein muss. Hier kann man aber auch p(x)=(x+1)*(x+1) schreiben, d.h. p ist nicht irreduzibel (=p ist reduzibel).
Irreduzibel heißt also: Egal welche Zerlegung du dir ausdenkst, einer der Faktoren ist IMMER eine Einheit. Reduzibel heißt: Du findest eine "echte" Zerlegung in 2 Nicht-Einheiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Sehe ich ein, danke! Habe ja parallel noch eine Frage laufen und da habe ich ja als Antwort bekommen, dass [mm] X^2+1 [/mm] ebenfalls irreduzibel sei. Das würde ich auch einfach in 2 Polynome zerlegen und sehen, dass entweder der eine Grad=0 und der andere Grad=2 ist oder, dass beide jeweils Grad 1 haben. Im ersten Fall folgt, da das eine eine Konstante ist, dass es in dem Fall irreduzibel ist. Der 2. Fall ist ein [mm] \IR [/mm] aber nicht möglich, weil ich das ganze ja dann mithilfe der Nullstellen zerlegen müsste, aber [mm] X^2+1 [/mm] hat ja keine Nullstellen. Habe ich jetzt auch öfters gelesen, kann man pauschal sagen, dass wenn ein Polynom keine Nullstellen besitzt, dass es irreduzibel ist? Und wäre [mm] X^2+1 [/mm] in den komplexen Zahlen nicht irreduzibel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mi 15.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also es gilt: Ist R ein Integritätsbereich und f [mm] \in \IR[x] [/mm] ein Polynom vom Grad 2 oder 3, das in R keine Nullstellen hat, so ist f irreduzibel.
Also für Grad [mm] \geq [/mm] 4 gilts nicht!
Schau dir mal den Fundamentalsatz der Algebra an und beantworte dir die letzte Frage selber.
Nicht irreduzibel = reduzibel
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, hab mit den Satz angesehen, somit ist X^+1 in [mm] \IC [/mm] reduzibel, alles klar. Fragen geklärt, danke!
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