Irreduzibel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 So 06.02.2005 | | Autor: | cloe |
hallo,
ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter.
Ist f(x) = [mm] x^5+10x+5 \in \IQ [/mm] [x] irreduzibel?
Ich hab schonmal rausgefunden, dass man das Eisensteinkriterium benutzen darf, aber mehr auch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 So 06.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
kennst du das eisenstein kriterium? schaue dir nochmal die formulierung an und überlege dir, welche primzahl in betracht kommt um die irreduzibilität nachzuweisen oder anders gefragt: welche primzahl teilt denn das absolutglied?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 06.02.2005 | | Autor: | cloe |
Ich würd sagen p=5
Heißt das, dass man erst rausfinden muss ob man das Eisensteinkriterium benutzen darf und wenn ja schaut man sich nur noch das absolute glied an?
Kann man auch bei [mm] f(x)=x^5+10x+5 \in \IZ_{2}[x] [/mm] das Eisensteinkriterium benutzen? Wenn ja bzw. nein, wieso??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 06.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich würd sagen p=5
> Heißt das, dass man erst rausfinden muss ob man das
> Eisensteinkriterium benutzen darf und wenn ja schaut man
> sich nur noch das absolute glied an?
also man muss immer erst herausfinden, ob man das entsprechende irreduzibilitätskriterium anwenden darf oder nicht und bei eisenstein schaut man sich nicht nur das absolutglied an, da stehen - zumindest in der version die ich kenne - auch noch forderungen an die anderen koeffizienten drin. stelle doch mal das kriterium hier rein oder gib einen link an, damit wir über das selbe reden.
> Kann man auch bei [mm]f(x)=x^5+10x+5 \in \IZ_{2}[x][/mm] das
> Eisensteinkriterium benutzen? Wenn ja bzw. nein, wieso??
ich neheme mal an, dass du mit [m] \mathbb{Z}_2 [/m] den restklassenring [m] \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/(2) [/m] meinst. dann ist hier die situation anders. für eisenstein brauchst du so etwas wie prim- oder irreduzible elemente (eben die primzahlen in [m] \mathbb{Z} [/m]) und das kann man in einem beliebeigen körper leider nicht definieren - oder überlege dir mal was hier prim sein soll?
hier musst du erstmal die koeffizienten modulo 2 reduzieren, dann erhälst du das polynom [m] f(x) = x^5 + 1 [/m]. nun probiere mal (das geht bei endlichen körpern in endlicher zeit), ob du eine nullstelle findest und überlege dir, was du daraus folgern kannst.
grüße
andreas
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