Irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Blueman |
| Aufgabe | Sei [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] der Ring aller komplexen Zahlen der Form [mm] a+b*\wurzel{-5}; [/mm] a,b [mm] \in \IZ. [/mm]
a)Zeige: [mm] 2,3,1+\wurzel{-5} [/mm] sind irreduzibel.
b) Finde ein irreduzibles Element, das kein Primelement ist.
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Hi
Ich habe keine Ahnung wie ich hier ran gehen soll, um die Irreduzibilität zu zeigen. Auf jeden Fall muss es relativ einfach gehen, denn wirkliche Kriterien für Irreduzibilität hatten wir noch nicht in der VL außer halt r = a*b => a oder b invertierbar.
Ich weiß noch nicht mal, was die invertierbaren Elemente in diesem Ring sind :-(
Hoffe ihr könnt mir helfen, bin am verzweifeln.
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mo 08.10.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sei [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm] der Ring aller komplexen Zahlen der
> Form [mm]a+b*\wurzel{-5};[/mm] a,b [mm]\in \IZ.[/mm]
> a)Zeige: [mm]2,3,1+\wurzel{-5}[/mm] sind irreduzibel.
> b) Finde ein irreduzibles Element, das kein Primelement
> ist.
> Ich habe keine Ahnung wie ich hier ran gehen soll, um die
> Irreduzibilität zu zeigen. Auf jeden Fall muss es relativ
> einfach gehen, denn wirkliche Kriterien für Irreduzibilität
> hatten wir noch nicht in der VL außer halt r = a*b => a
> oder b invertierbar.
Kennst du denn die Normabbildung N? Es ist [mm] N(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha*\overline{\alpha}, [/mm] sie ist ein multiplikativer Homomorphismus. Wenn du sie auf die Gleichung
[mm] (1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5}) [/mm] = 2*3
anwendest, kannst du (hoff ich jedenfalls) alles ablesen, was du brauchst. Vorsichtshalber laß ich die Frage mal teilbeantwortet.
Gruß aus HH-harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Danke für die Antwort. Leider weiß ich mit der Normabbildung nichts anzufangen, ich weiß noch nicht mal was eine Normabbildung überhaupt ist.
Muss dazu sagen: Ich hab die Frage ins Algebraforum gepostet, da sie hier meiner Meinung nach besser aufgehoben ist, aber die Aufgabe stammt aus einer LA-Vorlesung. Also es muss irgendwie mit recht einfachen Mitteln zu lösen sein.
Viele Grüße,
Blueman
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Hallo hallo
ich versuch mal zu helfen. Also die Normabbildung ist vereinfacht gesagt eine Abbildung von [mm] \IC \rightarrow \IZ [/mm] . Jeder komplexen Zahl wird durch die Norm eine ganze Zahl zugewiesen wie oben beschrieben. Norm von [mm] 1+\wurzel{5}*i
[/mm]
ist 6 also [mm] \alpha *\overline{\alpha} [/mm] im Prinzip wenn eine komplexe Zahl a+b*i ist die Norm [mm] a^2+b^2. [/mm] Zuerst einmal musste dir überlegen dass die [mm] N(\alpha) [/mm] multiplikativ ist das heißt [mm] N(\alpha*\beta)= N(\alpha)*N(\beta). [/mm] Dann musst du dir überlegen welche norm ne einheit in den ring hat fang mal an ein ringelement sei eine einheit also [mm] 1=N(1)=N(z*z^{'})=...........
[/mm]
Dann kann man sich überlegen wenn 2 irreduzibel ist dann muss (4)=N(2)=N(a*b)=............ Ich hoffe das konnte helfen.
Schönen Tach noch
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> Muss dazu sagen: Ich hab die Frage ins Algebraforum
> gepostet, da sie hier meiner Meinung nach besser aufgehoben
> ist, aber die Aufgabe stammt aus einer LA-Vorlesung. Also
> es muss irgendwie mit recht einfachen Mitteln zu lösen
> sein.
Hallo,
mit Minimitteln müßte sie ja so in Griff zu bekommen sein:
Angenommen, 2 wäre reduzibel. Dann gibt es a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] 2=(a+b\wurzel{-5})(c+d\wurzel{-5})
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> mit Minimitteln müßte sie ja so in Griff zu bekommen sein:
Ist es auch!
> Angenommen, 2 wäre reduzibel. Dann gibt es a,b,c,d [mm]\in \IZ[/mm]
> mit
>
> [mm]2=(a+b\wurzel{-5})(c+d\wurzel{-5})[/mm]
[mm] \Rightarrow (a^{2} [/mm] + [mm] 5b^{2})*(c+d\wurzel{-5}) [/mm] = [mm] 2*(a-b\wurzel{-5})
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a^{2} [/mm] + [mm] 5b^{2})*c [/mm] = 2a
Und jetzt muß man mal schauen:
Aus a = 0 folgt b [mm] \not= [/mm] 0, also c = 0, also -5bd = 2, was mit ganzen nicht sein kann.
Aus a = [mm] \pm [/mm] 1 folgt b = 0 und c = [mm] \pm [/mm] 2 und weiter d = 0; das ist keine echte Zerlegung
Aus a = [mm] \pm [/mm] 2 folgt b = 0 und c = [mm] \pm [/mm] 1 und weiter d = 0; das ist auch keine echte Zerlegung
|a| > 2 führt sofort zum Widerspruch.
Für 3 läuft es genauso und für 1 + [mm] \wurzel{-5} [/mm] so ähnlich
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 09.10.2007 | | Autor: | Blueman |
OK, vielen Dank. Und ein Beispiel für ein irreduzibles Element, das kein Primelement ist, wäre dann 6, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
> OK, vielen Dank. Und ein Beispiel für ein irreduzibles
> Element, das kein Primelement ist, wäre dann 6, oder?
Nee! 6 ist doch reduzibel, es ist doch 2*3. Aber [mm] 1+\wurzel{-5} [/mm] ist ist ein Beispiel: Es teilt 2*3 (offenbar), aber es kann weder 2 noch 3 teilen, weil die ja gerade auch irreduzibel sind.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Di 09.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Ups. Ja. Vielen Dank für den Hinweis!
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