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| Aufgabe | Satz1: Jede natürliche Zahl größer 1 kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Satz2: Ist n [mm] \in [/mm] N keine Quadratzahl, so ist [mm] \sqrt{n} [/mm] irrational. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich habe bei meinen Beweisen einen entscheidenden Denkfehler, vielleicht kann mir einer von euch dabei helfen.
Ich habe mir nun folgende Behauptung gestellt:
Behauptung: [mm] \sqrt{2} [/mm] ist irrational
1. Annahme: [mm] \sqrt{2} [/mm] ist rational, das heißt es gibt positive ganze Zahlen p,q mit [mm] \sqrt{2}=\bruch{p}{q}. [/mm] Wir können annehmen, dass die Zahlen p,q teilerfremd sind, es folgt
[mm] \sqrt{2}=\bruch{p}{q}, [/mm] auflösen der Wurzel
[mm] 2=\bruch{p^2}{q^2}
[/mm]
[mm] 2q^2=p^2
[/mm]
Daraus folgt, dass p gerade ist, da p durch 2 teilbar und eine ganze Zahl sein muss (satz1). Wir setzen p=2r und setzen es in die Gleichung
[mm] 2q^2=(2r)^2=4r^2
[/mm]
[mm] q^2=2r^2
[/mm]
Somit folgt, dass auch q gerade ist, dann aber p UND q durch 2 teilbar, was im Widerspruch zu der Teilerfremdheit steht. Somit ist [mm] \sqrt{2} [/mm] irrational.
Als nächstes habe ich gedacht, ich will sehen, was rauskommt, wenn ich eine Quadratzahl verwende (habe eine genommen, bei der man es nicht gleich sieht)
Meine Behauptung: [mm] \sqrt{4761} [/mm] ist irrational (ohne Taschenrechner könnte man dies durchaus annehmen)
1. Annahme: [mm] \sqrt{4761} [/mm] ist rational
[mm] \sqrt{4761}=\bruch{p}{q}
[/mm]
[mm] 4761=\bruch{p^2}{q^2}
[/mm]
[mm] 4761q^2=p^2
[/mm]
Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung muss 4761 auch bei der Primfaktorzerlegung der rechten Seite auftreten, d.h. 4761 muss ein Teiler von p sein. Setzen wir p=4761r, so ergibt dies
[mm] 4761q^2=4761^2r^2
[/mm]
[mm] 4761q^2=22667121r^2
[/mm]
[mm] q^2=4761r^2
[/mm]
Somit folgt, dass dann aber p UND q durch 4761 teilbar sind, was im Widerspruch zu der Teilerfremdheit steht. Somit ist [mm] \sqrt{4761} [/mm] irrational.
Aber [mm] \sqrt{4761} [/mm] die Quadratwurzel aus 69.
Wo ist mein Denkfehler?
VIELEN DANK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> [mm]4761q^2=p^2[/mm]
> Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung muss 4761 auch bei
> der Primfaktorzerlegung der rechten Seite auftreten,
richtig
> d.h. 4761 muss ein Teiler von p sein.
falsch !
4761 muss ein Teiler von [mm] p^2 [/mm] sein, die Teiler, die quadratisch in 4761 auftreten, (das sind sie ja in diesem Falle alle), können sich auf die beiden Faktoren p auf der rechten Seite aufteilen.
Gruß Sax.
PS : Sehr gute Vorgehensweise, um das Wesen eines Satzes oder eines Beweises wirklich zu verstehen.
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Hallo Sax!
Vielen vielen Dank für deine rasche Antwort.
Leider habe ich noch nicht alles verstanden
Also
[mm] 4761q^2=p^2
[/mm]
Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung muss 4761 ein Teiler von [mm] p^2 [/mm] sein, (aber nicht von p!). Soweit kapiert, aber diesen Satz habe ich leider noch nicht kapiert:
"die Teiler, die quadratisch in 4761 auftreten, (das sind sie sie ja in diesem Falle alle), können sich auf die beiden Faktoren p der rechten Seite aufteilen". Könntest du mir da ein Zahlenbeispiel geben?
Ist es richtig, dass man diese Argumentation nur bringen kann, wenn man weiß dass n eine Quadratzahl ist? Was tut man, wenn man das nicht weiß?
Vielen vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 14.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich meinte Folgendes :
wenn z.B. [mm] 50q^2 [/mm] = [mm] p^2 [/mm] ist, dann muss 50 [mm] p^2 [/mm] teilen. Das bedeutet nicht, dass p durch 50 teilbar sein muss, sondern nur durch 10.
50 = 2*5*5 und die eine 5 kann in dem einen p und die andere 5 in dem anderen p stecken, aber die 2 steckt jedenfalls in einem der beiden p und dieses ist also durch 10 teilbar. (Für den Beweis, dass [mm] \wurzel{50} [/mm] irrational ist, reicht es natürlich, mit der 2 alleine weiter zu argumentieren.)
Wenn nicht bekannt ist, ob die Quadratwurzel einer gegebenen Zahl rational ist, muss man sie also in Primfaktoren zerlegen, das ist ja immer eindeutig möglich. Wenn nun ein Primfaktor in ungerader Potenz auftritt, ist die Wurzel irrational, andernfalls (dann ist die Zahl eine Quadratzahl) ist die Wurzel rational.
Ich hoffe, dass ich mich verständlich machen konnte.
Gruß Sax.
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