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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 So 14.11.2004 | | Autor: | ocsw |
Kann mir jem. helfen wie man beweist, dass log2 10 irrational ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 14.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin oscw!
Mal ein Versuch:
ich gehe dvon aus, das du meist
[mm] log_{2} [/mm] 10 = y
Frage ist y irrational?
Annahme y sei rational dann gibt es Zahlen a,b [mm] \in [/mm] Z mit [mm] y=\bruch{a}{b}
[/mm]
a,b teilerfremd
[mm] \to log_{2} 10=\bruch{a}{b}
[/mm]
wegen [mm] 2^{x} [/mm] < [mm] 2^{y} [/mm] gdw. x<y und [mm] 2^{3} [/mm] = [mm] 8<10=2^{\bruch{a}{b}}
[/mm]
[mm] 3<\bruch{a}{b} \to [/mm] a>b
[mm] \to 2^{\bruch{a}{b}} [/mm] = 10
[mm] \to 2^{a} [/mm] = [mm] 10^{b}
[/mm]
[mm] \to 2^{a} =2^{b} 5^{b}
[/mm]
[mm] \to 2^{a-b} [/mm] = [mm] 5^{b}
[/mm]
da [mm] 2^{a-b} [/mm] gerade und [mm] 5^{b} [/mm] immer ungerade gilt die Gleichheit nicht, d.h.
[mm] \to 2^{a-b} \not= 5^{b}
[/mm]
[mm] \to log_{2} [/mm] 10 kann nicht rational sein
qed.
überprüf das ganze nochmal
MfG zwerg
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