Irrationale Zahl a finden < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mo 04.06.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es genau ein [mm] a \in \IR+ [/mm] mit [mm] a^{a} = 1+ a [/mm] gibt (a irrational) und geben Sie eine ganze Zahl [mm] n [/mm] an mit [mm] n \le a < n+1 [/mm]. |
Hallo zusammen, hier stehe ich total auf dem Schlauch. Mir fehlt der Ansatz, und wie finde ich die ganze Zahl n, die dem genannten Kriterium entspricht? Ich bitte euch dringend um Hilfe!
Danke und Grüße
Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mo 04.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Man kommt ja leicht darauf, dass für a Folgendes gelten muss:
[mm] a\ln(a)-\ln(1+a)=0.
[/mm]
Dann kannst du die Monotonie des Logarithmus und der Identität benutzen und noch die linke Seite für a=1 und a=2 ausrechnen. Das dürfte jeden davon überzeugen, dass a irgendwo zwischen 1 und 2 liegt. Ob es irrational ist oder nicht, ist eine Frage, die mir unwichtig und langweilig scheint.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 04.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo dormant, vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Ich kenne die Formel:
[mm] a^z = e^{z*lna} [/mm] und würde damit kommen auf:
[mm] e^{z*lna} - a - 1 = 0 [/mm]
Aber wie kommst Du auf [mm] a\ln(a)-\ln(1+a)=0. [/mm] ?
Dann müsste ja [mm] a^a = a*ln(a) [/mm] sein, was ich nicht ganz nachvollziehen kann.....vielleicht stehe ich auch auf dem Schlauch 
Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mo 04.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo dormant, vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Ich
> kenne die Formel:
>
> [mm]a^z = e^{z*lna}[/mm] und würde damit kommen auf:
>
> [mm]e^{z*lna} - a - 1 = 0[/mm]
Was ist z hier? Eins, oder? Dann steht auf der linken Seite einfach Null. An sich egal wie man das umformt, man braucht eine monotone Funktion.
> Aber wie kommst Du auf [mm]a\ln(a)-\ln(1+a)=0.[/mm] ?
Beide Seiten der ursprünglichen Gleichung logarithmiert und [mm] \ln(a^{b})=b\ln(a) [/mm] verwendet.
![[]](/images/popup.gif) Logarithmus@Wiki
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 04.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo dormant!
> > [mm]e^{z*lna} - a - 1 = 0[/mm]
>
> Was ist z hier? Eins, oder?
Ich denke, z ist hier a und nicht Eins, oder? Also:
[mm]e^{a*lna} - a - 1 = 0[/mm]
Und dann komme ich bei der linken Seite der Gleichung nie auf Null.
Danke übrigens für den Hinweis auf Wikipedia!
Gruß Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Di 05.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst posts genauer lesen:
da stand: Gleichung auf beiden Seiten logarithmieren_
[mm] a^a=1+a [/mm] daraus [mm] lna^a=ln(1+a) [/mm] daraus a*lna=ln(1+a)
daraus alna-ln(1+a)=0 ob du ln oder lg oder noch nen anderen log nimmst ist egal! also auch [mm] log_a
[/mm]
dann hast du [mm] a-log_a(1+a)=0
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Di 05.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo leduart, hallo rabilein1,
erst mal vielen Dank für eure posts! Du hast Recht, leduart, wer lesen kann hat Vorteile... Jetzt hab ich es auch gesehen.
Sorry für meine Begriffsverspätung....
Danke für eure Hilfe!
Andreas
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Die gesuchte Zahl ist ca 1.77677504
[mm] 1.77677504^{1.77677504}\approx1+1.77677504
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 07.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo rabilein, danke für Deinen post!
Wie bist Du eigentlich auf die Zahl 1.77677504 gekommen?
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 07.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Am sinnvollsten ist hier, zuerst mal eine Skizze zu machen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit hast du schonmal gezeigt, dass es nur eine Schnittstelle gibt.
Und dann kannst du dich mit Näherungsverfahren an die Nullstelle "herantasten".
Und das n findest du, indem du einstzt:
Also: [mm] 1^{1}=1<2=1+1
[/mm]
[mm] 2^{2}=4>3=2+1 [/mm]
Und damit liegt die Schnittstelle a zwischen 1 und 2.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Do 07.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Marius, vielen dank für Deinen ausführlichen post und die jpg. Das macht die Sache schön anschaulich. Und der Beweis mit dem Einsetzen ist prima. Der genaue Schnittpunkt war an sich gar nicht gefragt, da war ich dann selbst dran interessiert. Gibt es außer der grafischen Variante, den Schnittpunkt zu zeigen, bei dieser Gleichung auch eine numerische Lösung, so dass herauskommt a = 1,7......? Du sprachst von einem Näherungsverfahren (numerisch?)
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Do 07.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Es gibt diverse Näherungsverfahren, das Newton-Verfahren, das Heron-Verfahren seien nur Exemplarisch genannt.
Welches du letztendlich nutzt, ist relativ egal, dass Verständlichste ist sicherlich das Newton-Verf.
Also in deinem Fall:
[mm] x^{x}=1+x
[/mm]
Machen wir mal eine Funktion daraus, nämlich:
[mm] f(x)=x^{x}-x-1
[/mm]
Und hiervon sichen wir die Nullstellen.
f(1)=-1<0
f(2)=1>0.
Also liegt die Nullstelle zwischen 1 und 2.
jetzt nimm den Mittelwert aus 1 und 2, nämlich 1,5
f(1,5)=...<0
f(2)>0
Also nimm jetzt 1,75
f(1,75)=...<0
f(2)>0
Also: 1,875
f(1,75)<0
f(1,875)>0
Das ganze machst du immer weiter, bis erste Dezimalstellen "sicher" werden.
Marius
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> Wie bist Du eigentlich auf die Zahl 1.77677504 gekommen?
Um ehrlich zu sein: Nicht ich bin auf die Zahl gekommen, sondern mein alter Computer (hat schon mehr als 20 Jahre auf dem Buckel).
Da habe ich mal ein Programm "Solver" drauf geschrieben, dass dann so lange rechnet, bis es die Lösung gefunden (solved) hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Do 07.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo rabilein, auch Dir ein herliches Dankeschön für Deinen post. Na im Prinzip bist doch DU darauf gekommen, weil Du hast ja das Programm für Deinen "betagten" Freund geschrieben
Ist das ein Basic Programm? Ich habe auch ein ca. 20 Jahre altes Sharp-Modell PC-1403, mit Basic-Funktionen.
Solver klingt jedenfalls gut!
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Fr 08.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Für so was programmiert man ein Verfahren zur Nullstellenbestimmung (oder eben zur Fixpunktbestiummung). Das geht natürlich in jeder Sprache oder Umgebung (Matlab, Scilab, Maple usw), sobald man einen Algorithmus dazu hat. Der einfachste ist, wie ich finde, Bisektion. Der ist auch am langsamsten, aber meistens braucht man bei solchen Funktionen nur 10-20 Iterationen.
Gruß,
dormant
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> Ist das ein Basic Programm?
Ja, es ist ein Basic-Programm.
Man muss da zwei Grenzen eingeben, wobei für die eine Grenze der Wert unter und für die andere Grenze der Wert über dem gesuchten Wert liegen muss. Dann "tastet" sich das Programm an den Zielwert heran.
Das Wort "Solver" hatte ich übrigens von Excel entnommen, weil es da so etwas ähnliches auch gibt.
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