Invertierbarkeit von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ A [mm] \in M_n(\IR)$. [/mm] Beweise die Gleichwertigkeit von:
i) $A$ ist invertierbar.
ii) $rang(A) = n$
iii) Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig. |
Hallo,
ich werde $i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii) [mm] \Rightarrow [/mm] iii) [mm] \Rightarrow [/mm] i)$ versuchen zu beweisen.
$i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii)$
Dass $A$ invertierbar ist, heißt, dass die lineare Abbildung [mm] $L_A:\IR^n \to \IR^n$ [/mm] mit [mm] $L_A(x)=Ax$, [/mm] $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] die zu der Matrix $A$ gehört, ebenfalls invertierbar ist. Diese Abbildung ist deshalb ein Isomorphismus und damit auch bijektiv. Aus dem Rangsatz folgt dann, dass
[mm] $dim(Im(L_A)) [/mm] = [mm] dim(\IR^n) [/mm] = n$.
Da $rang(A)=dim(Im(A))$, folgt, dass $rang(A)=n$.
$ii) [mm] \Rightarrow [/mm] iii)$
$rang(A)=n$ bedeutet, dass [mm] $dim(Im(L_A))=n$. [/mm] $Im(A)$ ist definiert als [mm] $$, [/mm] wobei [mm] $A_i$ [/mm] die Spaltenvektoren von $A$ sind. Da [mm] $$ [/mm] ein Erzeugendensystem mit $n$ Elementen für einen $n$-dimensionalen Vektorraum ist, ist es eine Basis für [mm] $\IR^n$. [/mm] Es ist also auch ein linear unabhängiges System, was bedeutet, dass alle Spalten von $A$ linear unabhängig sind.
$iii) [mm] \Rightarrow [/mm] i)$
Für die Spaltenvektoren von $A$ muss gelten, dass alle [mm] $b_i \in \IR$ [/mm] in der folgenden Gleichung null sein müssen:
$ [mm] b_1A_1+\ldots+b_nA_n=0$
[/mm]
[mm] $b_1,\ldots,b_n$ [/mm] sind die Koeffizienten des Vektors $b = [mm] \vektor{b_1 \\ \vdots \\ b_n}$. [/mm] D.h., dass
$ A*b=0$,
wobei $b = 0$ sein muss. Nun ist es so, dass der erste Eintrag in [mm] $A_1$, [/mm] der zweite in [mm] $A_2$ [/mm] und der $n$-te in [mm] $A_n$ [/mm] und alles dazwischen eins sein müssen, da sonst ein [mm] $b_i$ [/mm] auch ungleich null sein kann. Aus $A$ ist also durch Streichen die Einheitsmatrix [mm] $I_n$ [/mm] zu erzeugen und $A$ ist damit invertierbar.
Geht das so?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A \in M_n(\IR)[/mm]. Beweise die Gleichwertigkeit von:
> i) [mm]A[/mm] ist invertierbar.
> ii) [mm]rang(A) = n[/mm]
> iii) Die Spalten von [mm]A[/mm] sind linear
> unabhängig.
> Hallo,
>
> ich werde [mm]i) \Rightarrow ii) \Rightarrow iii) \Rightarrow i)[/mm]
> versuchen zu beweisen.
>
> [mm]i) \Rightarrow ii)[/mm]
> Dass [mm]A[/mm] invertierbar ist, heißt, dass
> die lineare Abbildung [mm]L_A:\IR^n \to \IR^n[/mm] mit [mm]L_A(x)=Ax[/mm], [mm]x \in \IR^n[/mm],
> die zu der Matrix [mm]A[/mm] gehört, ebenfalls invertierbar ist.
> Diese Abbildung ist deshalb ein Isomorphismus und damit
> auch bijektiv. Aus dem Rangsatz folgt dann, dass
>
> [mm]dim(Im(L_A)) = dim(\IR^n) = n[/mm].
>
> Da [mm]rang(A)=dim(Im(A))[/mm], folgt, dass [mm]rang(A)=n[/mm].
O.K.
>
> [mm]ii) \Rightarrow iii)[/mm]
> [mm]rang(A)=n[/mm] bedeutet, dass
> [mm]dim(Im(L_A))=n[/mm]. [mm]Im(A)[/mm] ist definiert als [mm][/mm],
> wobei [mm]A_i[/mm] die Spaltenvektoren von [mm]A[/mm] sind. Da
> [mm][/mm] ein Erzeugendensystem mit [mm]n[/mm] Elementen für
> einen [mm]n[/mm]-dimensionalen Vektorraum ist, ist es eine Basis
> für [mm]\IR^n[/mm]. Es ist also auch ein linear unabhängiges
> System, was bedeutet, dass alle Spalten von [mm]A[/mm] linear
> unabhängig sind.
O.K.
>
> [mm]iii) \Rightarrow i)[/mm]
> Für die Spaltenvektoren von [mm]A[/mm] muss
> gelten, dass alle [mm]b_i \in \IR[/mm] in der folgenden Gleichung
> null sein müssen:
>
> [mm]b_1A_1+\ldots+b_nA_n=0[/mm]
>
> [mm]b_1,\ldots,b_n[/mm] sind die Koeffizienten des Vektors [mm]b = \vektor{b_1 \\ \vdots \\ b_n}[/mm].
> D.h., dass
>
> [mm]A*b=0[/mm],
>
> wobei [mm]b = 0[/mm] sein muss. Nun ist es so, dass der erste
> Eintrag in [mm]A_1[/mm], der zweite in [mm]A_2[/mm] und der [mm]n[/mm]-te in [mm]A_n[/mm] und
> alles dazwischen eins sein müssen,
Hä ? Da komme ich nicht mehr mit !!
> da sonst ein [mm]b_i[/mm] auch
> ungleich null sein kann. Aus [mm]A[/mm] ist also durch Streichen die
> Einheitsmatrix [mm]I_n[/mm] zu erzeugen und [mm]A[/mm] ist damit
> invertierbar.
Erkläre mir mal, was Du damit
"Aus [mm]A[/mm] ist also durch Streichen die Einheitsmatrix [mm]I_n[/mm] zu erzeugen"
meinst.
>
> Geht das so?
[mm]iii) \Rightarrow i)[/mm] hast Du vergeigt.
FRED
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
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> [mm]iii) \Rightarrow i)[/mm] hast Du vergeigt.
>
Ja, bei was zeitlichem Abstand dazwischen sehe ich das jetzt auch. Neuer Versuch:
Die Spaltenvektoren der Matrix $A$ bilden, wie ich gezeigt habe, eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] (und sind somit auch linear unabhängig). Wir können also jede Spalte [mm] $E_j$ [/mm] der Einheitsmatrix [mm] $I_n$ [/mm] ausdrücken als Linearkombination von:
[mm] $E_j [/mm] = [mm] b_{1j}A_1+\ldots+b_{nj}A_n$
[/mm]
für alle $j$. Die [mm] $b_i$'s [/mm] kommen aus einer Matrix $B [mm] \in M_n(\IR)$, [/mm] also:
$ [mm] I_n [/mm] = [mm] (A_1 \quad \cdots \quad A_n) [/mm] * [mm] \pmat{b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}} [/mm] = A*B $
Es gibt also eine Matrix $B$, die, multipliziert mit $A$, die Einheitsmatrix ergibt. $A$ ist also invertierbar.
So akzeptabler?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> >
> > [mm]iii) \Rightarrow i)[/mm] hast Du vergeigt.
> >
>
> Ja, bei was zeitlichem Abstand dazwischen sehe ich das
> jetzt auch. Neuer Versuch:
>
> Die Spaltenvektoren der Matrix [mm]A[/mm] bilden, wie ich gezeigt
> habe, eine Basis des [mm]\IR^n[/mm] (und sind somit auch linear
> unabhängig). Wir können also jede Spalte [mm]E_j[/mm] der
> Einheitsmatrix [mm]I_n[/mm] ausdrücken als Linearkombination von:
>
> [mm]E_j = b_{1j}A_1+\ldots+b_{nj}A_n[/mm]
>
> für alle [mm]j[/mm]. Die [mm]b_i[/mm]'s kommen aus einer Matrix [mm]B \in M_n(\IR)[/mm],
> also:
>
> [mm]I_n = (A_1 \quad \cdots \quad A_n) * \pmat{b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}} = A*B[/mm]
>
> Es gibt also eine Matrix [mm]B[/mm], die, multipliziert mit [mm]A[/mm], die
> Einheitsmatrix ergibt. [mm]A[/mm] ist also invertierbar.
>
> So akzeptabler?
Ja
FRED
>
> Liebe Grüße.
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