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| Aufgabe | Es sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und A [mm] \in [/mm] M (n x n, [mm] \IK). [/mm] Wir nehmen an, dass ein m [mm] \in \IN^{>0} [/mm] gibt, so dass
[mm] 0=A^{m}:=\underbrace{A \cdots A}_{m-mal}.
[/mm]
Es sei [mm] E_{n} [/mm] die Einheitsmatrix. Zeigen Sie, dass [mm] E_{n} [/mm] - A invertierbar ist und geben Sie eine Formel für die inverse Matrix an
Tipp: Betrachten Sie die Matrizen [mm] B_{l}:=\summe_{j=0}^{l} A^{j} [/mm] = [mm] E_{n} [/mm] + A + [mm] A^{2} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] A^{l}. [/mm] Was ist [mm] (E_{n} [/mm] - A) * [mm] B_{l}? [/mm] |
Hallo!
Ich bin ein bisschen verwirrt:
Was ist in diesem Fall A? ist es dann ein Vektor aus der Matrix M?
Aber wie kann die Summe von Vektoren invertierbar sein?
Und wenn [mm] A^{m} [/mm] = 0 ist, dann heißt das doch, dass A immer 0 sein muss, oder?
Was soll mir der Tipp bringen?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 So 05.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Es sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und A [mm]\in[/mm] M (n x n, [mm]\IK).[/mm] Wir nehmen
> an, dass ein m [mm]\in \IN{>0}[/mm] gibt, so dass [mm]0=A^{m}:=\underbrace{A \cdots A}_{m-mal}.[/mm]
> Es sei [mm]E_{n}[/mm] die Einheitsmatrix. Zeigen Sie, dass [mm]E_{n}[/mm] - A invertierbar
> ist und geben Sie eine Formel für die inverse Matrix an
>
> Tipp: Betrachten Sie die Matrizen [mm]B_{l}:=\summe_{j=0}^{l} A^{j}[/mm]=[mm]E_{n}[/mm] + A + [mm]A^{2}[/mm] + [mm]\cdots[/mm] + [mm]A^{l}.[/mm] Was ist [mm](E_{n}[/mm] - A)* [mm]B_{l}?[/mm]
> Hallo!
> Ich bin ein bisschen verwirrt:
> Was ist in diesem Fall A? ist es dann ein Vektor aus der Matrix M?
Nein, A ist eine (n x n) Matrix und M ist die Menge aller (n x n) Matrizen mit Koeffizienten aus [mm] \IK [/mm] und keine Matrix.
> Aber wie kann die Summe von Vektoren invertierbar sein?
Da A kein Vektor ist sondern eine Matrix erübrigt sich hier eine Antwort.
Rechne einfach mal aus [mm] (E_n-A)*\summe_{j=0}^{l} [/mm] ist. Tipp: Viele Glieder der Differenz addieren sich zu null. Dann wähle den Index l entsprechend der Voraussetzug.
> Und wenn [mm]A^{m}[/mm] = 0 ist, dann heißt das doch, dass A immer
> 0 sein muss, oder?
Nein, nimm die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }\ne [/mm] 0 und berechne [mm] A^2
[/mm]
> Was soll mir der Tipp bringen?
> Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
> Danke schonmal!
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Warum soll bei vielen Gliedern der Differenz [mm] E_{n} [/mm] - A null herauskommen? Wenn man die Matrizen voneinander subtrahiert kommen so Sachen wie [mm] 1-a_{11} [/mm] und [mm] 0-a_{1n} [/mm] heraus, oder nicht?
Und wie berechne ich [mm] (E_{n} [/mm] - A) * [mm] B_{l}?
[/mm]
Woher bekommst du die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und was genau soll ich damit machen?
Und noch eine andere Frage, die beim Grübeln über der Aufgabe entstanden ist: Ist [mm] (E_{n} [/mm] - [mm] A)^{-1} [/mm] = [mm] E_{n} [/mm] - [mm] A^{-1} [/mm] ?
Sorry, bin total verwirrt!
Danke schonmal für die Antwort und Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 23:10 Di 07.12.2010 | | Autor: | klarita |
> Warum soll bei vielen Gliedern der Differenz [mm]E_{n}[/mm] - A null
> herauskommen? Wenn man die Matrizen voneinander subtrahiert
> kommen so Sachen wie [mm]1-a_{11}[/mm] und [mm]0-a_{1n}[/mm] heraus, oder
> nicht?
>
> Und wie berechne ich [mm](E_{n}[/mm] - A) * [mm]B_{l}?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
nein...
bei dem Tipp, der bei deiner Aufgabe steht, heißt es doch:
$ B_{l}:=\summe_{j=0}^{l} A^{j} $ = $ E_{n} $ + A + $ A^{2} $ + $ \cdots $ + $ A^{l}. $
also ist: $ (E_{n} $ - A) * $ B_{l} $ = $ (E_{n} $ - A) * $ ({E_{n} $ + A + $ A^{2} $ + $ \cdots $ + $ A^{l}). $
= (E_{n}*E_{n} + E_{n}*A + E_{n}*$ A^{2} $ + ... + E_{n}*A^{l}) - $ E_{n}\cdot{}A $ - $ A^{2} $ - ... - $ A^{l} $ - $ A^{l+1} $
= $ E_{n}\cdot{}E_{n} $ - $ A^{l+1} $
= $ E_{n} $ - $ A^{l+1} $
> Woher bekommst du die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] und
> was genau soll ich damit machen?
>
du hast doch am Anfang behauptet, dass für $ [mm] A^{m} [/mm] $ = 0 A = 0 ist
Wenn aber A = $ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] $ oder $ [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] $ usw. ist, dass ist es ja nicht die
Nullmatrix, also nicht 0. A * A aber schon! (oder A * A * A; oder A * A * A * A usw...
hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 14.12.2010 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Di 07.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Warum soll bei vielen Gliedern der Differenz [mm] E_{n} [/mm] - A null herauskommen? Wenn man die Matrizen
> voneinander subtrahiert Kommen so Sachen wie [mm] 1-a_{11} [/mm] und [mm] 0-a_{1n} [/mm] heraus, oder nicht?
Das versteh ich überhaupt nicht. [mm] E_n-A [/mm] soll doch nicht null werden. Es soll gezeigt werden, dass [mm] E_n-A [/mm] invertierbar ist.
> Und wie berechne ich [mm] (E_{n}-A)*B_{l}?
[/mm]
Einfach mal ausprobieren.
(*) [mm] (E_n-A)*B_l=(E_n-A)*\summe_{j=0}^{l}A^j=\summe_{j=0}^{l}A^j-\summe_{j=0}^{l}A^{j+1}=E-A^{l+1}
[/mm]
> Woher bekommst du die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und was genau soll ich damit machen?
Deine Frage war doch, wenn [mm] A^m=0 [/mm] ist ob dann nicht auch A=0 ist. Das ist ein Gegenbeispiel. Berechne doch einfach mal für [mm] B=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] die Matrix [mm] B^2 [/mm] dann wirst Du die Antwort auf Deine Frage erkennen. Übrigens, Matrizen die die Eigenschaft [mm] A^m=0 [/mm] besitzen heißen Nilpotent.
> Und noch eine andere Frage, die beim Grübeln über der Aufgabe entstanden ist:
> Ist [mm] (E_{n}-A)^{-1}=E_{n}-A^{-1} [/mm] ?
Sicher nicht. Überlege mal was passiert wenn Du in (*) für l=m-1 einsetzt und die Voraussetzung in der Aufgabe berücksichtigst.
> Sorry, bin total verwirrt!
> Danke schonmal für die Antwort und Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Di 14.12.2010 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!
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