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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und K ein Körper.Man beweise,dass jede obere Dreiecksmatrix A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] mit [mm] a_{ii}=1 [/mm] für alle i [mm] \in \{1,2,...,n\} [/mm] invertierbar ist. |
Hallo^^
Ich versuche grad die Aufgabe zu lösen,komme aber nicht mehr weiter.
Also wir hatten uns folgendes aufgeschrieben:
Sei R ein Ring.Sei r [mm] \in [/mm] R ein nilpotentes Element,also [mm] r^{n}=0.
[/mm]
Dann ist 1-r invertierbar und es gilt:
[mm] (1-r)^{-1}=\summe_{i=o}^{m} r^{i}=1+r+...+r^{m}, [/mm] wobei [mm] r^{m+1}=0.
[/mm]
Außerdem haben wir uns noch aufgeschrieben,dass ein Element r [mm] \in [/mm] R (Ring) invertierbar ist,falls es ein s [mm] \in [/mm] R gibt mit r*s=s*r=1.
So,ich muss jetzt zeigen,dass jede obere Dreiecksmatrix A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] mit [mm] a_{ii}=1 [/mm] invertierbar ist.
Dann könnte ich das mit dem nilpotenten Argument versuchen.Die oberen Dreiecksmatirzen A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] sehen doch so aus [mm] A=\pmat{ 1 & irgendwas \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Wenn A ein nilpotentes Element ist,dann ist [mm] E_{n}-A [/mm] invertierbar,aber ich muss ja zeigen,dass A invertierbar ist.Dann kann ich doch diesen Ansatz nicht wählen oder?
Also hab ich mir überlegt zu zeigen,dass es ein Links und ein Rechtsinverses gibt,also [mm] r*s=s*r=E_{n}.
[/mm]
Erstmal soviel.Ist meine Idee richtig?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mi 17.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Frage hast Du doch schon mal gestellt, siehe hier
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich hab die Frage nicht reingestellt,das war jemand anders.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mi 17.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
hat Dir die Antwort denn geholfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
>
> hat Dir die Antwort denn geholfen?
Eigtnlich nicht,weil wir noch keine Determinanten hatten,ich weiß nicht was das ist.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
vielleicht geht es so. Die obere Dreiecksmatrix D lässt sich schreiben als D=E+N, wobei E die Einheitsmatrix ist und N eine strikte obere Dreiecksmatrix (Alle Werte unterhalb und auf der Diagonalen sind 0). Eine strikte Oberedreicksmatrix ist nilpotent, Beweis durch Induktion mittels Kästchenmultiplikation für Matrizen. Dann folgt aus Deinem Satz, dass D invertierbar ist.
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> Hi,
>
> vielleicht geht es so. Die obere Dreiecksmatrix D lässt
> sich schreiben als D=E+N, wobei E die Einheitsmatrix ist
> und N eine strikte obere Dreiecksmatrix (Alle Werte
> unterhalb und auf der Diagonalen sind 0). Eine strikte
> Oberedreicksmatrix ist nilpotent, Beweis durch Induktion
> mittels Kästchenmultiplikation für Matrizen. Dann folgt
> aus Deinem Satz, dass D invertierbar ist.
>
Aber wenn ich zeige,dass N nilpotent ist,dann hab ich doch gezeigt,dass E-N invertierbar ist und das ist nicht =D.
Oder wie meintest du das?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Spalten von A sind linear unabhängig, also hat A welchen Rang ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Die Spalten von A sind linear unabhängig, also hat A
> welchen Rang ?
Den Rang einer Matrix hatten wir noch nicht,ich hab keine Ahnung was das ist.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Hi Mandy_90
also der Satz mit der Nilpotenz geht ja in etwa so: ist [mm] r^n=0 [/mm] also Nilpotentes Element dann ist 1-r Invertierbar. 1-r ist also in diesem Fall A ,die obere Dreiecksmatri.Demnach ist das Nilpotente Elemnet zu A ja 1-A da 1-(1-A)=A
Also muss man schließlich nur zeigen, dass die Einheitsmatrix - der Matrix A ein Nilpotentes Element ist.
Also E-A mit [mm]a_ij \begin{cases} 0, & \mbox{für } i \le j \mbox{ } \\ a, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi Mandy_90
> also der Satz mit der Nilpotenz geht ja in etwa so: ist
> [mm]r^n=0[/mm] also Nilpotentes Element dann ist 1-r Invertierbar.
> 1-r ist also in diesem Fall A ,die obere
> Dreiecksmatri.Demnach ist das Nilpotente Elemnet zu A ja
> 1-A da 1-(1-A)=A
> Also muss man schließlich nur zeigen, dass die
> Einheitsmatrix - der Matrix A ein Nilpotentes Element ist.
Ok,dann versuch ich das mal.Also es ist [mm] E-A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }-\pmat{ 1 & bla \\ 0 & 1 }
[/mm]
>
> Also E-A mit [mm]a_ij \begin{cases} 0, & \mbox{für } i \le j \mbox{ } \\ a, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Das ist doch einfach die Definition der oberen Dreiecksmatrix oder?
E-A ist genau dann nilpotent,wenn [mm] (\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }-\pmat{ 1 & bla \\ 0 & 1 })^{n}=0 [/mm] ist.Also [mm] (\pmat{ 0 & -bla \\ 0 & 0 })^{n}=0.
[/mm]
Mein Problem ist aber,dass ich nicht weiß, mit welcher Beweismethode ich hier rangehen soll.Ein Widerspruchsbeweis,denke ich,ist hier eher ungünstig,bei vollständiger Induktion bin ich mir auch nicht ganz sicher.
Oder kann ich einfach [mm] (\pmat{ 0 & -bla \\ 0 & 0 })*(\pmat{ 0 & -bla \\ 0 & O })=(\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }) [/mm] rechnen?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Ich weiß leider auch nicht wie man hier mit einer Induktion ansetzten könnte vielleicht. Hoffentlich weiß jemand aus dem Forum rat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Hab jetzt eine Lösung gefunden,
man kann jede obere Dreiecksmatrix [mm] D^n\times [/mm] n als Blockmatrix auffassen sodass:
[mm] D=\pmat{ A & R \\ B & 0 }wobei A^{n-1\times n-1} [/mm] , [mm] R^{n-1\times 1}und B^{1\times n-1} [/mm] mit bij=0
also ist [mm] D^n=\pmat{ A^n & R*A^{n-1} \\ B & 0 }
[/mm]
zu zeigen ist also
[mm] \produkt_{i=2}^{n}( D^{ixi})^i =\pmat{ A^n & R*A^{n-1} \\ B & 0 }=0 [/mm] für dij=0 falls i [mm] \le [/mm] j
ich denke mal das müsste mit vollständiger Induktion gehen muss mir das aber jetzt nochmal gedanken machen.
hab grade gesehen dass das Problem hier auch schonmal war hier ist die Lösung von Ullim
https://matheraum.de/forum/Matrixm/t734109
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hab jetzt eine Lösung gefunden,
>
> man kann jede obere Dreiecksmatrix [mm]D^n\times[/mm] n als
> Blockmatrix auffassen sodass:
>
> [mm]D=\pmat{ A & R \\ B & 0 }wobei A^{n-1\times n-1}[/mm] ,
> [mm]R^{n-1\times 1}und B^{1\times n-1}[/mm] mit bij=0
Aber wieso steht bei dir unten rechts eine 0,da muss doch eine 1 stehen oder?
>
> also ist [mm]D^n=\pmat{ A^n & R*A^{n-1} \\ B & 0 }[/mm]
>
> zu zeigen ist also
>
> [mm]\produkt_{i=2}^{n}( D^{ixi})^i =\pmat{ A^n & R*A^{n-1} \\ B & 0 }=0[/mm]
> für dij=0 falls i [mm]\le[/mm] j
>
> ich denke mal das müsste mit vollständiger Induktion
> gehen muss mir das aber jetzt nochmal gedanken machen.
>
> hab grade gesehen dass das Problem hier auch schonmal war
> hier ist die Lösung von Ullim
Ist es wirklich das gleiche Problem?
Dort sind doch Elemente auf der Hauptdiagonalen 0 und hier müssen die doch 1 sein ?
> https://matheraum.de/forum/Matrixm/t734109
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Ja es geht doch um das Nilpotente Elemnet zu der Matrix bei der nur Einsen auf der Diagonalen stehen und das ist die obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen hast du doch weiter oben auch festgestellt. Man muss dann doch "nur" zeigen das diese Matrix wirklich nilpotent ist und das macht man dann hier.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ja es geht doch um das Nilpotente Elemnet zu der Matrix
> bei der nur Einsen auf der Diagonalen stehen und das ist
> die obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen hast
> du doch weiter oben auch festgestellt. Man muss dann doch
> "nur" zeigen das diese Matrix wirklich nilpotent ist und
> das macht man dann hier.
Ja,ok.Aber ich verstehe folgendes nicht.Wenn ich zeige,dass die obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen nilpotent,dann hab ich doch gezeigt,dass E-N invertierbar ist (E ist die Einheitsmatrix,N die obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen),aber ich muss doch zeigen,dass E+N invertierbar ist ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Wenn du gezeigt hast dass 1-A Nilpotent ist heißt das, dass 1-(1-A) invertierbar ist und 1-(1-A)=A . Es gilt wenn [mm] r^n [/mm] =0 dann ist 1-r Invertierbar
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