Invertierbare Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich weiß nicht wie ich an folgende Aufgabe rangehen soll:
Gegeben ist die Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 }. [/mm] Für welche Werte von a ist die Matrix A regulär (invertierbar)?
Folgendes habe ich erfolglos versucht:
Zuerst wollte ich die Inverse von A bilden und versuchen, darüber a herauszubekommen. Leider habe ich keine Ahnung wie ich die Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus in die Einheitsmatrix umwandeln soll. Mein Problem ist: Wie soll aus dem mittleren a beispielsweise eine 1 werden?
Dann habe ich die Determinante ausgerechnet, was mich aber leider auch nicht weitergebracht hat.
Hat jemand eine Idee, was man hier machen könnte?
Schon einmal vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 So 27.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
mit dem gauß-algorithmus die inverse zu berechnen ist schon möglich, kann aber von der rechnung her recht unangenehm werden, da unter umständen fallunterscheidunegn ($a=0, [mm] \, [/mm] a [mm] \not=0$) [/mm] nötig werden. daher würde ich eher den weg über die determinante gehen. dabei solltest du ein polynom 3. grades in $a$ erhalten. nun weiß man ja, dass eine matrix genau dann singulär also nicht invertierbar ist, wenn die determinante gleich null ist. diese ist ja hier durch das polynom gegeben. also genügt es nun zur beantwortung der frage die nullstellen des polynoms zu bestimmen.
gib doch mal die determinante an, die du erhalten hast.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich hatte gehofft, dass es eine einfachere Lösung gibt.
Meine Determinante sieht folgendermaßen aus:
det A = [mm] a^{3} [/mm] - [mm] a^{2} [/mm] + 2a
Gruß
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Hi!
Also, ich habe eine andere Determinante heraus:
[mm] -a^{3}-3a^{}-2
[/mm]
Wie hast Du denn gerechnet?
Nun musst Du das a herausfinden, für das die Determinante gleich null ist. Setze also gleich null und löse auf, dann hast Du die Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mo 28.02.2005 | | Autor: | BAGZZlash |
Hoppla, ja, hast recht, hab's falsch abgetippt... :-/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Cuchulainn |
Vielen Dank. Jetzt komme ich klar damit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mo 28.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich finde diese lösung einfach! es wurde die frage der invertierbarkeit einer $3 [mm] \times [/mm] 3$-matrix auf das lösen einer polynomgleichung zurückgeführt, was vom rechenaufwand (zumindest in diesem fall) sehr viel geringer ist!
ich glaube auch nicht, dass man eine einfachere lösung für dieses problem finden kann.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas!
Ich stimme dir da ganz und gar zu. Und ich wüßte auch keine einfachere Lösung... 
Viele Grüße,
Marcel
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