Invertierb Matrix Nilpot NF < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:06 Di 05.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Sei [mm] $V=\IR^4$, [/mm] und sei [mm] $f:V\to [/mm] V$ definiert durch $f(v)=A*v$ wobei [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 0&-1&0&0 \\ -2&4&-2&2 } \in M_{44}(\IR) [/mm] ist. |
Es handelt sich um eine Beispielaufgabe aus meinem Script. Dabei soll ich die Nilpotente Normalform $N(p)$ von A berechnen und die Matrix S, für die gilt:
[mm] $N(p)=S^{-1}*A*S$
[/mm]
Dabei habe ich fast alle Schritte verstanden und unabhängig vom Script auch gerechnet und alles passte überein. An einem Punkt komme ich aber jetzt leider nicht weiter und kann auch nicht verstehen, warum gerade genau dieser Vektor benutzt wird.
Aber Schritt für Schritt...
Als erstes habe ich [mm] A^0,A, A^2 [/mm] und [mm] A^3 [/mm] berechnet.
[mm] A^0=I_4 [/mm]
[mm] A^1=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 0&-1&0&0 \\ -2&4&-2&2 }
[/mm]
[mm] A^2=\pmat{ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1&2&-1&1 \\ 0&0&0&0 }
[/mm]
[mm] A^3=0
[/mm]
Dann habe ich die Rangpartition p von A berechnet:
p=(p1,p2,p3) mit:
[mm] p1=Rg(A^0)-Rg(A)=4-2=2
[/mm]
[mm] p2=Rg(A)-Rg(A^2)=2-1=1
[/mm]
[mm] p3=Rg(A^2)-Rg(A^3)=1-0=1
[/mm]
Somit folgt: $p=(2,1,1)$ und die dazu duale Partition $p^*=(3,1)$
Damit erstelle ich [mm] N(p)=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 }
[/mm]
Dann habe ich die Filtrierung von V bezüglich A berechnet.
Das Ergebnis hat zu meiner Freude mit meinem Script übereingestimmt und lautet:
[mm] $\{0\}\subseteq \langle \vektor{1\\0\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\-1} \rangle \subseteq \langle \vektor{-2\\-1\\0\\0},\vektor{1\\0\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\-1} \rangle \subseteq [/mm] V$
Bei mir sind die Mengen folgendermaßen benannt:
[mm] $V_0=\{0\}$
[/mm]
[mm] $V_1=\langle \vektor{1\\0\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\-1} \rangle$
[/mm]
[mm] $V_2=\langle \vektor{-2\\-1\\0\\0},\vektor{1\\0\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\-1} \rangle$
[/mm]
[mm] $V_3=V
[/mm]
Jetzt suche ich mir einen Vektor, der (und da bin ich mir nicht 100%tig sicher) nicht in [mm] V_2 [/mm] liegen darf, mit dem ich eine Basis von [mm] V_3 [/mm] / [mm] V_2 [/mm] bilden kann.
Es drängte sich hier [mm] v_{13}= \vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] auf.
Durch die duale Partition $p^*=(3,1)$ nehme ich [mm] $v_{13} [/mm] *A$ und erhalte [mm] $v_{12}=\vektor{0\\1\\0\\-2}$ [/mm] und mit [mm] $v_{12}*A=v_{13}=\vektor{1\\0\\-1\\0}$ [/mm] erhalte ich meinen nächsten Vektor.
Bis dahin verstehe ich die Vorgehensweise und habe alles unabhängig vom Scrips so gerechnet. Dann werden [mm] $v_{11},v_{12},v_{13}$ [/mm] durch einen weiteren Vektor zu einer Basis von V ergänzt.
Da S ja nun invertierbar ist, muss Rg(S)=4 sein, um auf vier linear unabhängige Vektoren zu kommen, fehlt mir also nur noch ein einziger. Ich hätte jetzt:
[mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] genommen.
Im Script wird [mm] $v_{21}=\vektor{0\\0\\1\\1}$ [/mm] genutzt und ich verstehe nicht warum!
Wäre schön, wenn mir das jemand erklären könnte. Hab das Script jetzt schon einige male gelesen, komme aber leider nicht dahinter.
Micha
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 07.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
