Inverse mit cramerschen Regel? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 30.12.2010 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Inverse der Matrix mit der Cramerschen regel.
A= 1 0 -1
3 1 -3
1 2 -2 |
Hi
also die Inverse von einer Matrix berechnen kann ich.
Allerdings versteh ich das mit Cramer nicht so ganz.
Bei der cramerschen regel prüft man ja zunächst ob die determinante der Matrix ungleich 0 ist. k. aber dann ersetzt man ja die einzellnen Spalten mit dem Werten was normalerweise hinter den = stehen bei einem LGS.
und dadurch bekommt man ja dann auch nur x1 x2 und x3 raus.
da komm ich irgendwie mit meinem Gedankengang nicht weiter, wie das gehen soll bzw. was ich davon habe.
Hilfe wäre was tolles!
Gruß Robin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Do 30.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie berechnest du denn die Inverse ohne ein GS zu lösen?
die idee ist doch [mm] A*A^{-1}=I
[/mm]
das sind eigentlich 3 GS mit den rechten Seiten die spalten von I,
die 3 GS kann man aber praktisch auf einmal lösen.
was du beschreibst :"dann ersetzt man ja die einzellnen Spalten mit dem Werten " versteh ich nicht.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Do 30.12.2010 | | Autor: | Roffel |
Erstmal danke.
also normal würd ich de Inverse damit lösen, dass ich die Matrix aufschreibe so wie sie da steht und daneben halt die Einheitsmatrix. und würde ich doch subtraktion/multi. usw die einzellnen Zeilen verrechnen so dass in der normalen Matrix die Diagonale mit den 1ner ensteht und darüber und darunter nur 0 sind. dann hat man ja durch verrechnen der Einheitsmatrix die Inverse da stehen.
aber wozu bzw wo/wie wende ich dann die Cramersche Regel an?
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> Berechnen Sie die Inverse der Matrix mit der Cramerschen
> regel.
>
> A= 1 0 -1
> 3 1 -3
> 1 2 -2
> Hi
>
> also die Inverse von einer Matrix berechnen kann ich.
> Allerdings versteh ich das mit Cramer nicht so ganz.
> Bei der cramerschen regel prüft man ja zunächst ob die
> determinante der Matrix ungleich 0 ist. k. aber dann
> ersetzt man ja die einzellnen Spalten mit dem Werten was
> normalerweise hinter den = stehen bei einem LGS.
> und dadurch bekommt man ja dann auch nur x1 x2 und x3
> raus.
> da komm ich irgendwie mit meinem Gedankengang nicht
> weiter, wie das gehen soll bzw. was ich davon habe.
>
> Hilfe wäre was tolles!
>
> Gruß Robin
Hi Robin,
die gesuchte inverse Matrix sei $\ [mm] A^{-1}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}$
[/mm]
Wie leduart gesagt hat, werden dann aus der Gleichung
[mm] A*A^{-1}=I [/mm] drei Gleichungssysteme. Das erste davon lautet
beispielsweise
[mm] $\pmat{1&0&-1\\3&1&-3\\1&2&-2}*\pmat{a\\d\\g}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\0\\0}$
[/mm]
Auf dieses kannst du das Cramersche Verfahren anwenden,
um a, d und g zu berechnen. Dann geht es analog weiter
mit den anderen beiden Gleichungssystemen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 02.01.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke!
könntest du mir noch kurz bitte zeigen wie du auf dein a=1 gekommen bist? das ist mir noch nicht ganz so klar leider...
Gruß Robin
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Hallo, a ist nicht gleich 1, es gilt doch
[mm] A*A^{-1}=I
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2}*\pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
also
[mm] \pmat{1&0&-1\\3&1&-3\\1&2&-2}\cdot{}\pmat{a\\d\\g}\ =\pmat{1\\0\\0}
[/mm]
jetzt bekommst du die drei Gleichungen
(1) a-g=1
(2) 3a+d-3g=0
(3) a+2d-2g=0
gelöst: a=-4; d=-3; g=-5
dann
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2}*\vektor{b \\ e \\ h}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2}*\vektor{c \\ f \\ i}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
Super, Danke Steffi!
Jetzt hab sogar ich es verstanden :)
LG Robin
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