Inverse einer Matrix det=0 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 29.05.2011 | | Autor: | nhard |
Gibt es eine anschauliche Begründung, warum es zu einer Matrix mit der Determinante keine Inverse gibt?
Kann mir das irgendwie nicht ganz erklären..
Danke und lg!
|
|
| |
|
Was genau möchtest du denn wissen? Dein Satz ist unvollständig und ergibt keinen Sinn. Meinst du, warum die Determinante UNGLEICH 0 sein muss, damit eine Matrix A invertierbar ist? Du weißt, dass der Rang rg(A) identisch mit der Anzahl der Unbekannten n sein muss, damit eine Matrix invertierbar ist, oder? Das ist aber gleichbedeutend mit der Forderung, dass die Determinante [mm] $\not= [/mm] 0$ ist, denn wäre sie 0, dann wäre min. eine Zeile linear abhängig. Anders gesagt: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn alle Zeilen-. bzw. Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Nichts anderes liefert dir dann das Determinanten-Kriterium
Man könnte auch sagen, für die Invertierbarkeit ist Eindeutigkeit notwendig. Die Determinante wird ja auch 0, wenn eine Zeile oder Spalte nur 0 enthält. Da dies aber nicht eindeutig ist, da vieles 0 ergeben kann, ist es eben auch nicht möglich, eine eindeutige Inverse anzugeben. Gleiches gilt, wenn ein Zeilen- oder Spaltenvektor linear abhängig ist, dann kann die zusätzliche, überflüssige Zeile ebenfalls durch 0 ersetzt werden (elementare Zeilenumformungen).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 29.05.2011 | | Autor: | gnom347 |
Also am einfachsten kannst du dir das klarmachen indem du es einfach ausprobierst nimm dir einfach ne matrix A (am besten mit 2 Zeilen und Spalten damit es nicht soviel rechenaufwand wird) mit det(A)=0.
Und dan versuch eine matrix B zu finden mit A*B=E
Wenn du dan noch lust hast kannst du es dir auch für den allgeinen fall ansehen,Um zu sehen wieso es nie funktioniert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 29.05.2011 | | Autor: | nhard |
Hey Danke für eure Antworten.
Sollte natürlich "[...]mit der Determinante 0[...]" heißen.
Habe das mit der 2x2 Matrix ausprobiert.
Stimmt es, wenn ich sage:
Um zb die Inverse einer 2x2 Matrix zu bestimmen habe ich 4 Unbekannte und 4 Gleichungen.
Wenn jetzt mind. zwei der Gleichungen lin. abhängig (auf die Matrix übertragen: mind. 2 Zeilen sind lin. abhängig, entspricht also Det=0 ) sind, kann ich ja mein Gleichungsystem nicht lösen und damit keine Inverse Matrix bestimmen.
Macht das Sinn?
lg und Danke!
|
|
|
| |
|
> Hey Danke für eure Antworten.
>
> Sollte natürlich "[...]mit der Determinante 0[...]"
> heißen.
>
> Habe das mit der 2x2 Matrix ausprobiert.
>
> Stimmt es, wenn ich sage:
>
> Um zb die Inverse einer 2x2 Matrix zu bestimmen habe ich 4
> Unbekannte und 4 Gleichungen.
Falsch, 2 Unbekannte und zwei GLeichungen!
> Wenn jetzt mind. zwei der Gleichungen lin. abhängig (auf
> die Matrix übertragen: mind. 2 Zeilen sind lin. abhängig,
> entspricht also Det=0 ) sind, kann ich ja mein
> Gleichungsystem nicht lösen und damit keine Inverse Matrix
> bestimmen.
So ungefähr kannst du es dir merken. Wenn EINE Zeile von der anderen linear abhängig ist, so fällt diese schlichtweg weg, du hast also zwar eine 2x2-Matrix, aber nur eine Zeile bzw eine Gleichung. Diese ist unterbestimmt und du kannst mit einen Parameter frei wählen. Dazu eine exakte Inverse zu bestimmen ist nicht möglich, die Inverse, sofern sie existiert, ist ja eindeutig. Du kannst aber unendlich viele Inversen (also in Gedanken) zu einer Matrix definieren, die als zweite Zeile oder SPalte 0 hat. Daher gibt es Inversen nur für Matrizen, deren Rang identisch ist mit n, also reguläre Matrizen.
>
> Macht das Sinn?
>
> lg und Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 29.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es eine anschauliche Begründung, warum es zu einer
> Matrix mit der Determinante keine Inverse gibt?
> Kann mir das irgendwie nicht ganz erklären..
Wenn du zwei quadratische Matrizen $A$ und $B$ hast, dann gilt [mm] $\det(A [/mm] B) = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] B$.
Wenn $A$ jetzt invertierbar ist, dann gibt es eine Inverse $B$ mit $A B = E$ (Einheitsmatrix). Dann ist $1 = [mm] \det [/mm] E = [mm] \det(A [/mm] B) = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] B$.
Wenn [mm] $\det [/mm] A = 0$ ist, dann ist auch [mm] $\det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] B = 0$ fuer jedes $B$ und kann somit nicht 1 sein, womit es ganz bestimmt kein Inverses zu $A$ geben kann.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:01 Mo 30.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
Es gibt auch noch eine geometrische Begruendung: ist $A [mm] \in \IR^{n \times n}$, [/mm] dann gehoert zu $A$ ja ein Endomorphismus [mm] $\IR^n \to \IR^n$ [/mm] (gegeben durch $x [mm] \mapsto [/mm] A x$).
Die Determinante von $A$ sagt nun aus, welches Volumen der Einheitswuerfel $[0, [mm] 1]^n$ [/mm] hat, nachdem man ihn mit dieser linearen Abbildung abgebildet hat.
Wenn die Determinante 0 ist, hat man den Einheitswuerfel verzerrt und dabei plattgedrueckt: in dem Fall gibt es keine lineare Umkehrabbildung, was einmal platt gedrueckt wurde kann man nicht wieder auseinanderziehen (da es anschaulich gesagt hat mindestens eine Dimension verloren hat: lineare Abbildungen koennen Dimensionen hoechstens verkleinern, aber nie vergroessern).
Aber eine Umkehrabbildung zu $x [mm] \mapsto [/mm] A x$ ist gleichbedeutend mit einer Inversen zur Matrix $A$.
Also: ist [mm] $\det(A) [/mm] = 0$, so gibt es keine Inverse zu $A$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Erklärung:
det(A)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] für die zu A gehörende lin. Abb. B gilt: kern(B) [mm] \ne \{0\} \Rightarrow [/mm] B ist nicht bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] A ist nicht inv.
FRED
|
|
|
|
