Inverse Matrix wenn regulär < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
wie kann man beweisen, dass
[mm] \exists A_{n,n}^{-1} \gdw det(A_{n,n})\not=0 [/mm] (d.h. A regulär)
Danke und Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Di 27.03.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
möchte ein paar Denkanstöße geben:
1. [mm] \det(E_{n,n}) [/mm] = 1
2. [mm] A_{n,n}^{-1} A_{n,n} [/mm] = [mm] E_{n,n}
[/mm]
3. obere oder untere Dreiecksmatrizen berechnet man die Determinaten mittels Produkt der Hauptdiagonalelemente (Tipp: Ein Produkt ist Null, wenn EINER der Faktoren Null ist!)
4. Voller Rang einer Matrix bedeutet det A [mm] \not= [/mm] 0
5. Zeilenrang = Spaltenrang einer Matrix
6. Der Beweis geht ja immer in eine Richtung, d.h. man kann die Behauptung als Voraussetzung annehmen und umformen.
7. Widerspruch erzeugen, bspw.
[mm] \exists A^{-1} [/mm] und det A = 0
1=det(E) = [mm] det(A^{-1} [/mm] A) = [mm] det(A^{-1}) [/mm] det(A) = [mm] det(A^{-1}) [/mm] * 0 Wid!
Hoffe es hilft weiter, sonst einfach fragen.
Ron
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Hallo,
ersteinmal Danke Ron, für die Hinweise!
Resultiert aus der zum Widerspruch geführten Aussage $ [mm] \exists A^{-1} [/mm] $ und det A = 0 nun auch tatsächlich, dass $ det(A) [mm] \not= [/mm] 0 $ sein muss, damit $ [mm] \exists A^{-1} [/mm] $ ?
Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Ja!
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Kennt jemand einen ähnlich einfachen und einsichtigen Beweis für die Rückrichtung [mm] (\exists A^{-1} \Rightarrow det(A)\not=0)?
[/mm]
Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Jorgi |
Huhu :)
Die folgende Behauptung wurde doch oben im 2. Post schon bewiesen,
[mm]\exists A^{-1} \Rightarrow det(A)\not=0[/mm]
Angenommen, [mm]det(A) = 0[/mm].
Allgemein gilt:
[mm]1 = det(E_n) = det(A\cdot A^{-1}) = det(A)\cdot det(A^{-1}) = det(A^{-1})\cdot 0 = 0[/mm]
Widerspruch ^^
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Hallo,
Gezeigt wurde: $ [mm] \exists A^{-1} \Rightarrow det(A)\not=0 [/mm] $
Aber $ [mm] det(A)\not=0 \Rightarrow \exists A^{-1} [/mm] $ folgt daraus noch nicht zwingend, m.M. nach.
Denn, man muss ja von det(A)=0 ausgehend zeigen, dass es KEIN [mm] A^{-1} [/mm] gibt - darf es also nicht schon im Beweis verwenden, sondern sollte mit der Beweisführung draufkommen?!
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Hallo Willkommen,
ich glaube, man kann das relativ einfach begründen:
Sei [mm] $A\in M_n(\IK)$ [/mm] und [mm] $det(A)\ne0$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $rang(A)=n [mm] \gdw [/mm] A$ $invertierbar$, also [mm] $\exists A^{-1}$
[/mm]
Was meinst du?
Gruß
schachuzipus
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mh,
der Schritt det(A) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] rang(A) = n ist ja eine direkte Folgerung.
Das heisst, man hat die Beweisproblematik nur "verschoben", muss nun zeigen, dass aus vollem Rang die invertierbarkeit folgt?!
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> mh,
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> der Schritt det(A) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] rang(A) = n ist ja
> eine direkte Folgerung.
>
> Das heisst, man hat die Beweisproblematik nur "verschoben",
> muss nun zeigen, dass aus vollem Rang die invertierbarkeit
> folgt?!
Hallo,
im Prinzip ja.
Auf welches Kriterium von Invertierbarkeit einer Matrix willst du denn hinaus? Bzw. welches hattest du in der VL? Dann könnte man den Beweis darauf "zuschneiden"
Vllt. in der Art:
Sei [mm] $A\in\ M_n(\IK)$ [/mm] mit $Rang(A)=n$ [mm] \Rightarrow [/mm] A hat in ZSF keine Nullzeile und lässt sich mit elementaren Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix [mm] E_n [/mm] überführen [mm] \Rightarrow \exists A^{-1}
[/mm]
[mm] A^{-1} [/mm] erhält man dabei, indem man dieselben Schritte, die man zur Umformung von A in die Einheitsmatrix macht, in der selben Reihenfolge auf die Einheitsmatrix anwendet.
Hattet ihr ein Kriterium in der Art?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Do 29.03.2007 | | Autor: | Willkommen |
Danke für den Hinweis!
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