Inverse Matrix bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A eine obere nxn Matrix.
Man zeige, dass für B= [mm] A^{-1} [/mm] gilt: [mm] b_{ik}=0 [/mm] für k=1,...n-1, i=k+1,...,n .
und bestimme die [mm] b_{ii}. [/mm]
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Hallo,
also erstmal hab ich so angefangen, dass
ich überlegt habe, wie man Inverse Matrix bestimmt.
Also,
[mm] A*A^{-1} [/mm] = [mm] I_{n}, [/mm] wobei [mm] I_{n} [/mm] die Einheitsmatrix bezeichnet.
DAnn ergibt sich ja ein Lineares GLeichungssystem mit n Gleichungen und
n Unbekannten.
dann gilt allgemein:
[mm] e_{ik}= \summe_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk} [/mm]
da aber [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } i>j \\ a_{ij}, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
gilt also
[mm] e_{ik}= \summe_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk} [/mm] = [mm] \underbrace{ \summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}b_{jk}}_{=0} [/mm] + [mm] \summe_{j=i}^{n}a_{ij}b_{jk} [/mm]
also ist
[mm] e_{ik}= \summe_{j=i}^{n}a_{ij}b_{jk} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } i=k \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
und das hab ich jetzt versucht von hinten aufzulösen, indem ich
bei [mm] e_{n1} [/mm] angefangen habe, dann ist z.b.
[mm] e_{n1}= a_{nn}b_{n1}= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow b_{n1}=0 [/mm]
...
bis [mm] e_{11}= a_{11}b_{11}=1 \Rightarrow b_{11}= \bruch{1}{a_{11}}
[/mm]
[mm] e_{nn}= a_{nn}b_{nn}= [/mm] 1 [mm] \Rightarrow b_{nn}= \bruch{1}{a_{nn}}
[/mm]
reicht das jetzt schon aus um sagen zu können, dass alle Elemente
auf der Hauptdiagonalen derInversen Matrix [mm] \bruch{1}{a_{ii}} [/mm] an der stelle ii sind ????
und reicht es auch aus, um sagen zu können, dass alle Elemente der Inversen Matrix unter derHauptdiagonalen = 0 sind?
Oder wie könnte man es allgemeiner zeigen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei A eine obere nxn Matrix.
> Man zeige, dass für B= [mm]A^{-1}[/mm] gilt: [mm]b_{ik}=0[/mm] für
> k=1,...n-1, i=k+1,...,n .
> und bestimme die [mm]b_{ii}.[/mm]
>
> [...]
Mach es doch nicht so kompliziert  Versuchs mal mit der Cramerschen Regel und (fuer die Diagonaleneintraege von $B$) bedenke, dass [mm] $\det [/mm] A = [mm] \prod_{i=1}^n a_{ii}$ [/mm] ist.
LG Felix
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