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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 06.06.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Gesamtkosten eines Betriebes können durch eine Funktion 3.Grades der Form K(x) = [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] beschrieben werden.
Anmerkung: Die Grenzkostenfunktion ist die erste Ableitung von K, d.h. K'(x) = [mm] 3ax^2 [/mm] +2bx +c.
Bei der Produktion von 1 ME (Mengeneinheiten) entstehen Kosten von 58 GE (Geldeinheiten). werden 3 ME hergestellt, dann betragen die Kosten 72 GE und die Grenzkosten 3 GE. Wenn 6 ME produziert werden betragen die Kosten 108 GE.
a) Stellen Sie zur Ermittlung der Gesamtkostenfunktion ein Lineares Gleichungssystem auf.
b) Lösen Sie dieses mit der inversen Matrix. |
Moin, moin!
zu a)
K(1) = 58 => a+b+c+d = 58
K(3) = 72 => 27a +9b +3c +d =72
K'(3) = 3 => 27a +6b + c = 3
K(6) = 108 => 216a +36b +6c +d =108
Daraus kann ich eine Matrix aufstellen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 58 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & 72 \\ 27 & 6 & 1 & 0 & 3 \\ 216 & 36 & 6 & 1 & 108}
[/mm]
Schön. Aber wie löse ich das jetzt mit einer Inversen Matrix?
Ist das überhaupt möglich? Kann ich eine Inverse Matrix nicht nur von quadratischen Matrizen bilden?
Kann ich die "rechte Seite der Gleichungen" möglicherweise in die linke Seite integrieren; sodasseine 4x4 Matrix entsteht???
Wie gehe ich sonst vor?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mo 06.06.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> zu a)
>
> K(1) = 58 => a+b+c+d = 58
>
> K(3) = 72 => 27a +9b +3c +d =72
>
> K'(3) = 3 => 27a +6b + c = 3
>
> K(6) = 108 => 216a +36b +6c +d =108
diesen Teil lasse ich mal ungeprüft, da es dir - wie ich es der Frage entnehme - mehr um den 2. Teil der Aufgabe geht.
> Daraus kann ich eine Matrix aufstellen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 58 \\
27 & 9 & 3 & 1 & 72 \\
27 & 6 & 1 & 0 & 3 \\
216 & 36 & 6 & 1 & 108}[/mm]
Ja, so ist das zwar korrekt, die Schreibweise bringt dich aber nicht weiter bei deinem Problem.
>
> Schön. Aber wie löse ich das jetzt mit einer Inversen
> Matrix?
>
> Ist das überhaupt möglich? Kann ich eine Inverse Matrix
> nicht nur von quadratischen Matrizen bilden?
> Kann ich die "rechte Seite der Gleichungen" möglicherweise
> in die linke Seite integrieren; sodasseine 4x4 Matrix
> entsteht???
Da weiß ich jetzt nicht, was du meinst, aber ich denke, du meinst folgendes:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\
27 & 9 & 3 & 1 \\
27 & 6 & 1 & 0 \\
216 & 36 & 6 & 1}\cdot{\vektor{a \\
b \\
c \\
d}}=\vektor{58 \\
72 \\
3 \\
108}[/mm]
Und das ist völlig korrekt. Du hast jetzt also ein LGS der Form [mm]A\cdot{x}=b[/mm]. Ist nun [mm]A[/mm] invertierbar, gilt [mm]x=A^{-1}\cdot{b}[/mm].
Gruß
barsch
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