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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Originalfunktion von
[mm] $F(s)=\frac{5s+15}{s^3-s^2+4s-4}$ [/mm] |
Zunächst habe ich den Nenner gleich Null gesetzt.
[mm] $s^3-s^2+4s-4=0$
[/mm]
Dabei sieht man, dass eine Nullstelle bei [mm] $s_1=1$ [/mm] existiert.
Die Polynomdivision liefert mir damit die Funktion
[mm] $s^2+4=0$
[/mm]
Hier sieht man auf den ersten Blick die anderen Nullstellen [mm] $s_2=2$ [/mm] und [mm] $s_3=-2$
[/mm]
Damit erhalte ich die Partialbrüche
[mm] $\frac{A}{(s-1)}+\frac{B}{(s-2)}+\frac{C}{(s+2)}$
[/mm]
Auf einen Hauptnenner gebracht
[mm] $\frac{A(s^2-4)+B(s^2+s-2)+C(s^2-3s+2)}{(s^3-s^2+4s-4)}$
[/mm]
Koeffizientenvergleich mit $5s+15$ liefert mir
[mm] $C=\frac{5}{12} [/mm] ; [mm] B=\frac{75}{12} [/mm] ; [mm] A=\frac{-15}{2}$
[/mm]
Und damit laut Korrespondenztabelle
[mm] $f(t)=-\frac{-15}{2}e^t+\frac{75}{12}e^{2t}+\frac{5}{12}e^{-2t}$
[/mm]
Wolfram Alpha gibt aber eine andere Originalfunktion an:
[mm] $f(t)=\frac{1}{2}*(8e^t+\sin{2t}-8\cos{2t})$
[/mm]
Habe ich einen Fehler gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Oh stimmt ...
Dann sind [mm] $s_2=-2*i$ [/mm] und [mm] $s_3=2*i$
[/mm]
Nur wie sind dann meine Partialbrüche für komplexe Nullstellen?
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Hallo Morph007,
> Oh stimmt ...
>
> Dann sind [mm]s_2=-2*i[/mm] und [mm]s_3=2*i[/mm]
>
> Nur wie sind dann meine Partialbrüche für komplexe
> Nullstellen?
Dann ergibt sich der Partialbruch zu: [mm]\bruch{B*s+C}{s^{2}+4}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Auf den Partialbruch komme ich aber nicht.
Ich habe mit den beiden komplexen Nullstellen jeweils die PB:
[mm] $\frac{B}{(s+2i)} [/mm] + [mm] \frac{C}{s-2i}$
[/mm]
Die beiden auf einen Hauptnenner:
[mm] $\frac{B(s-2i)+C(s+2i)}{s^2-4i^2} [/mm] = [mm] \frac{Bs-2Bi+Cs+2Ci}{s^2+4}$
[/mm]
Oder ist das falsch? Kann ich das noch weiter auflösen?
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Hallo Morph007,
> Auf den Partialbruch komme ich aber nicht.
>
> Ich habe mit den beiden komplexen Nullstellen jeweils die
> PB:
>
> [mm]\frac{B}{(s+2i)} + \frac{C}{s-2i}[/mm]
>
> Die beiden auf einen Hauptnenner:
>
> [mm]\frac{B(s-2i)+C(s+2i)}{s^2-4i^2} = \frac{Bs-2Bi+Cs+2Ci}{s^2+4}[/mm]
>
> Oder ist das falsch? Kann ich das noch weiter auflösen?
Nein, das ist auch richtig.
Das kannst Du höchstens noch zusammenfassen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Hm aber zur weiteren Rechnung ist ja dein Ansatz besser.
Kann man das grundsätzlich so machen, dass man bei einer zweifach komplexen Nullstelle zur Bestimmung des Partialbruchs im Zähler [mm] $A_1s+A_2$ [/mm] und im Nenner den ausmultiplizierten Hauptnenner schreibt?
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Hallo Morph007,
> Hm aber zur weiteren Rechnung ist ja dein Ansatz besser.
>
> Kann man das grundsätzlich so machen, dass man bei einer
> zweifach komplexen Nullstelle zur Bestimmung des
> Partialbruchs im Zähler [mm]A_1s+A_2[/mm] und im Nenner den
> ausmultiplizierten Hauptnenner schreibt?
Ja, das ist generell bei komplexen Nullstellen so.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Top, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Dann ist auch sicher generell der Hauptnenner der komplexen NS die quadratische Fkt. aus der die komplexen NS kommen oder täusche ich mich da?
Also in meinem Fall war ja der Hauptnenner der komplexen NS das Ergebnis der vorherigen Polynomdivision und damit die quadratische Fkt. von der die beiden komplexen NS stammen.
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Hallo Morph007,
> Dann ist auch sicher generell der Hauptnenner der komplexen
> NS die quadratische Fkt. aus der die komplexen NS kommen
> oder täusche ich mich da?
Nein, da täuscht Du Dich nicht.
> Also in meinem Fall war ja der Hauptnenner der komplexen
> NS das Ergebnis der vorherigen Polynomdivision und damit
> die quadratische Fkt. von der die beiden komplexen NS
> stammen.
Gruss
MathePower
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