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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 03.05.2008 | | Autor: | moses |
| Aufgabe | | F(x) = [mm] (x)^1/2 [/mm] + x |
Hallo,
ich hab ein Verständnisproblem bei dieser Aufgabe. Mir ist nicht klar wie ich von dieser Funktion die Umkehrfunktion bilden kann.Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Benjamin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo moses,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> F(x) = [mm](x)^1/2[/mm] + x
[mm]F\left(x\right) = \wurzel{x} + x[/mm]
> Hallo,
> ich hab ein Verständnisproblem bei dieser Aufgabe. Mir ist
> nicht klar wie ich von dieser Funktion die Umkehrfunktion
> bilden kann.Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Vertausche erstmal x mit y:
[mm]x=\wurzel{y}+y[/mm]
Setze dann [mm]\wurzel{y}=z[/mm]
Dann erhälst Du eine quadratische Gleichung:
Dann hast Du also stehen:
[mm]x=z^{2}+z[/mm]
die nach z aufgelöst werden muß.
Die Lösung bestimmst Du mit der PQ-Formel bzw. der ABC-Formel
Jetzt wird die Ersetzung rückgängig gemacht:
[mm]z=\wurzel{y}= \dots \Rightarrow y=\left( \dots \right)^{2}[/mm]
> Benjamin
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 03.05.2008 | | Autor: | moses |
| Aufgabe | | $ [mm] F\left(x\right) [/mm] = [mm] \wurzel{x} [/mm] + x $ |
Erstmal möchte ich mich für die schnelle Antwort bedanken!!!
Aber ich hab grad noch eine paar Verständnisprobleme zwecks der Substitution und wie ich dann auf die Lösung kommen soll... .Könntest du mir vielleicht einen etwas genaueren Lösungsansatz posten? Hab grad irgendwie nen Hänger..... :P . Gruß Moses
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Eine normale Funktion f ordnet jedem Wert aus dem Definitionsbereich (x) einen Wert aus dem Wertebereich (y) zu. Die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] dagegen ordnet jedem Wert aus dem Wertebereich von f (y) einen Wert aus dem Definitionsbereich von f zu, und zwar genau in der Weise, dass wenn f(x) = y folgt dass [mm] f^{-1}(y) [/mm] = x.
Es gilt nun solch eine Umkehrfunktion zu finden. Wie stellen wir das an? Wir müssen lediglich die ursprüngliche Funktion f(x) = y nach x umstellen.
Dann erhalten wir eine Funktion abhängig von y, die jedem y einen Wert x zuordnet - die Umkehrfunktion.
Wir müssen also
[mm]\wurzel{x} + x = y[/mm]
nach x umstellen.
Man sieht aber sofort, dass man nicht problemlos nach x umstellen kann: Weder quadrieren noch x auf die andere Seite bringen etc. wird etwas bringen.
Deswegen bedient man sich des Mittels der Substitution. Wir ersetzen einen Term durch eine Variable.
Hier empfiehlt es sich, [mm] \wurzel{x} [/mm] durch eine andere Variable, zum Beispiel z zu ersetzen. Wir setzen also im Grunde die folgende Gleichung
[mm]\wurzel{x} = z[/mm]
in die schon gegebene
[mm]\wurzel{x} + x = y[/mm]
ein. Da aus [mm]\wurzel{x} = z[/mm] sofort [mm]x = z^{2}[/mm] folgt, können wir die gegebene Gleichung nun also folgendermaßen schreiben:
[mm]z + z^{2} = y[/mm].
Nun können wir noch y auf die andere Seite subtrahieren:
[mm]\gdw z^{2} + z - y = 0[/mm]
und erhalten eine quadratische Gleichung. Mit der quadratischen Lösungsformel erhält man
[mm]z_{1/2} = -\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+y}[/mm]
Nun haben wir die Gleichung nach z umgestellt. Allerdings wollten wir eigentlich nach x umstellen - wir müssen die Substitution wieder rückgängig machen:
Mit
[mm]\wurzel{x} = z[/mm]
folgt
[mm]\wurzel{x}_{1/2} = -\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+y}[/mm]
Nun quadrieren wir noch die Gleichung und erhalten die beiden möglichen Umkehrfunktionen:
[mm]x_{1/2} = \left(-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+y}\right)^{2}[/mm]
Wir haben nun eine Funktion erhalten, die zu folgendem in der Lage ist: Ich kann einen y-Wert der Funktion f einsetzen und erhalte den x-Wert, an welchem die Funktion den y-Wert annimmt. Genau das ist die Eigenschaft der Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] einer Funktion. Allerdings ist nur eine der beiden die richtige Umkehrfunktion - Welche, solltest du selbst herausfinden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Sa 03.05.2008 | | Autor: | moses |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!!
Moses
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