Inverse Eisensteinzahl < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Madabaa |
Hallo,
ich versuche gerade das Inverse der Eisensteinzahl zu berechnen.
1.
Eisensteinzahl:
a+bw mit w= [mm] (-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm] und a,b [mm] \in \IZ
[/mm]
Inverse:
(a+bw)*(c+dw)=1
[mm] ac+adw+cbw+bdw^2 [/mm] =1
[mm] w^2=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
,wie hilft mir das weiter?
2.
Könnte man es auch mit der multiplikative inverse der Komplexen Zahlen berechnen?
Bsp: a+bi [mm] *(\bruch{a-bi}{a^2+b^2}) [/mm] =1
MfG
Madabaa
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Hallo Madabaa,
[mm] \omega [/mm] schreibt man in LaTeX \omega.
> ich versuche gerade das Inverse der Eisensteinzahl zu
> berechnen.
>
> 1.
> Eisensteinzahl:
> a+bw mit w= [mm](-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm] und a,b
> [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Inverse:
> (a+bw)*(c+dw)=1
>
> [mm]ac+adw+cbw+bdw^2[/mm] =1
>
>
> [mm]w^2=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
> ,wie hilft mir das weiter?
Das wird mühsam.
> 2.
> Könnte man es auch mit der multiplikative inverse der
> Komplexen Zahlen berechnen?
>
> Bsp: a+bi [mm]*(\bruch{a-bi}{a^2+b^2})[/mm] =1
Klar, nur ist das nicht das gleiche a,b wie oben. Also eine gefährliche Wahl der Formelvariablen.
Ich bleibe mal bei [mm] (a+b\omega).
[/mm]
Dann kommt das multiplikative Inverse [mm] \bruch{(a-b)-b\omega}{(a-b)^2+ab} [/mm] heraus.
Anhand des Nenners kannst Du herausfinden, welche Eisensteinzahlen überhaupt invertierbar sind.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 20.11.2012 | | Autor: | Madabaa |
Hallo reverend,
Danke für deine Antwort.
Könntest du mir bitte erklären wie du auf das multiplikative Inverse gekommen bist?
Ich kann es leider noch nicht nachvollziehen wie du auf $ [mm] \bruch{(a-b)-b\omega}{(a-b)^2+ab} [/mm] $ gekommen bist.
MfG
Madabaa
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Hallo nochmal,
ich habe einfach die Formel für das multiplikative Inverse einer komplexen Zahl angewandt. Du hast sie in Deinem ersten Post ja schon aufgeführt. Wegen der Verwechslungsgefahr benenne ich die Variablen mal um:
Das mult.Inverse von [mm]z=x+yi[/mm] ist [mm] \bruch{x-yi}{x^2+y^2}=\bruch{\overline{z}}{|z|^2}
[/mm]
Nun haben wir [mm] a+b\omega [/mm] zu invertieren.
Erstmal: [mm] a+b\omega=a+b\left(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i\right)=\left(a-\bruch{1}{2}b\right)+\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}b\right)i
[/mm]
Also ist [mm] x=a-\bruch{1}{2}b [/mm] und [mm] y=\bruch{\wurzel{3}}{2}b
[/mm]
Das kannst Du nun in die Formel oben einsetzen und kommst auf mein Ergebnis, vielleicht nur in einer anderen Darstellung, z.B. im Nenner. Aber es sollte sonst schon das gleiche sein.
Grüße
reverend
PS: Hast du schon heraus, welche Eisensteinzahlen (mit ganzzahligem a,b) überhaupt invertierbar sind? Es gibt sechs davon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Di 20.11.2012 | | Autor: | Madabaa |
Hallo,
erstmal vielen Dank für Ihre Antwort.
Ich habe durch das einsetzten bemerkt das es z.b für a=1 und b=3 nicht gilt.
Anhand des Nenners habe ich es noch nicht herausgefunden.
Gruß
Madabaa
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Hallo Madabaa,
> erstmal vielen Dank für Ihre Antwort.
Gern geschehen. Im übrigen kannst Du hier bedenkenlos alle duzen. So ist es in allen mir bekannten Internetforen üblich und auch hier.
> Ich habe durch das einsetzten bemerkt das es z.b für a=1
> und b=3 nicht gilt.
Stimmt.
> Anhand des Nenners habe ich es noch nicht herausgefunden.
Ok, ich machs mal vor.
Nennen wir den Nenner [mm] n:=(a-b)^2+ab=a^2-ab+b^2=a^2+(b-a)b
[/mm]
Diese drei Darstellungen sind äquivalent. Vielleicht brauchen wir sie auch alle. 
Außerdem bin ich schreibfaul und definiere mal [mm] g:=|\ggT{(a,b)}|
[/mm]
Und noch zur Erinnerung: [mm] a,b\in\IZ. [/mm] Deswegen gerade auch die Betragsstriche, falls uns der euklidische Algorithmus mal eine negative Zahl auswirft. Im allgemeinen wird der [mm] \ggT{} [/mm] aber sowieso positiv definiert, also eine unnötige Vorsichtsmaßnahme.
Wir untersuchen mal, in welchen Fällen [mm] \bruch{a-b}{n} [/mm] und [mm] \bruch{b}{n} [/mm] ganzzahlig sind. Nur dann ist das Inverse ja selbst eine Eisensteinzahl.
1) Nehmen wir mal den Fall g>1. Dann kann man [mm] a=g\alpha [/mm] und [mm] b=g\beta [/mm] schreiben, mit [mm] \alpha, \beta\in\IZ.
[/mm]
Dann ist [mm] n=(g(\alpha-\beta))^2+g\alpha*g\beta=g^2((\alpha-\beta)^2+\alpha\beta).
[/mm]
Damit nun die beiden Eisenstein-Koordinaten des Inversen ganzzahlig sind, muss also gelten [mm] g^2|(a-b) [/mm] und [mm] g^2|b [/mm] und damit auch [mm] g^2|a.
[/mm]
Damit ist [mm] \ggT{(a,b)}\ge g^2>g. [/mm] Widerspruch!
2) Es bleibt der Fall g=1.
Aus [mm] \ggT{(a,b)}=1 [/mm] folgt auch [mm] \ggT{(n,b)}=1
[/mm]
Da habe ich ein paar Schritte ausgelassen, damit Du auch noch etwas zu tun hast. 
Also ist [mm] \tfrac{b}{n} [/mm] nur ganzzahlig, wenn |n|=1 ist.
2.1) Sei n=-1.
Da [mm] (a-b)^2\ge0 [/mm] ist, muss ab<0 sein.
[mm] n=a^2-ab+b^2=-1\quad\gdw\quad a^2+b^2=-1+ab
[/mm]
Nun ist [mm] a^2+b^2>0 [/mm] (a=b=0 ist auszuschließen: Division durch Null), und -1+ab ist wegen ab<0 sicher negativ: -1+ab<0.
Hier gibt es also keine Lösung.
2.2) Sei n=1.
Dann ist [mm] a^2+b^2=1+ab [/mm] (siehe Fall 2.1). Da [mm] a^2+b^2>0 [/mm] ist, muss [mm] ab\ge0 [/mm] sein. Es genügt dann [mm] a\ge0, b\ge0 [/mm] zu betrachten. Ist [mm] a+b\omega [/mm] eine Lösung, dann auch [mm] -a-b\omega.
[/mm]
Damit kann [mm] (a-b)^2+ab=1 [/mm] nur gelten, wenn (zwei Fälle):
2.2.1) [mm] (a-b)^2=1 [/mm] und $ab=0$ sind.
Also ist entweder a=0 oder b=0 und das jeweils andere 1 ist.
Wegen der gerade genannten Duplizität der Lösungen (auch negative Lösungen) heißt das:
[mm] 0+1\omega
[/mm]
[mm] 0-1\omega
[/mm]
[mm] 1+0\omega
[/mm]
[mm] -1+0\omega
[/mm]
sind invertierbar.
2.2.2.) [mm] (a-b)^2=0 [/mm] und $ab=1$.
Zwei weitere Lösungen:
[mm] 1+\omega
[/mm]
[mm] -1-\omega
[/mm]
***
So, die Inversen dazu kannst Du leicht bestimmen.
Wenn Du diese Zahlen im Eisenstein-Dreiecksgitter in der Gaußschen Zahlenebene darstellst, sind es (natürlich!) gerade die sechs Eisensteinzahlen [mm] z_i, [/mm] für die [mm] |z_i|=1 [/mm] gilt.
Die hätte man dann auch leichter bestimmen können.
Übrigens wird die Rechnerei mit Eisensteinzahlen viel anschaulicher, wenn Du mal folgende Fragen beantwortest:
Was geschieht geometrisch, wenn eine Zahl mit -1 multipliziert wird? Klar: sie wird am Nullpunkt gespiegelt bzw. ihr Ortsvektor um 180° um den Nullpunkt gedreht. Das als Beispiel.
Was geschieht geometrisch, wenn eine Zahl mit [mm] \omega [/mm] multipliziert wird? Und was bei Multiplikation mit [mm] $\omega^2$? [/mm] Naja, Letzteres ist dann banal.
Was geschieht geometrisch, wenn eine Zahl mit [mm] -\omega [/mm] multipliziert wird?
Viel Spaß weiterhin mit dem Thema, und viel Erfolg!
Grüße
reverend
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