Inverse 2x2-Matrix mit Unbek. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper, und seien [mm] $a,b,c,d\in [/mm] K$. Man betrachte die [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix
$A := [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }$.
[/mm]
Man berechne im Falle $ad - bc [mm] \neq [/mm] 0$ die Matrix [mm] $A^{-1}$. [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Ich "hänge" bei o.g. Aufgabe. Um die inverse Matrix zu erstellen, baue ich zunächst die Matrix AI (mit I Einheitsmatrix) auf:
[mm] $\pmat{ a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1}$.
[/mm]
Erster Gedanke: Durch elementare Zeilenumformungen AI in IA zu überführen.
Mein Problem: Es ist lediglich vorausgesetzt, daß $ad - bc [mm] \neq [/mm] 0$. Daraus folgt jedoch nicht, daß eines der $a, ..., d$ ungleich 0 ist. Ich kann also keine Zeile der Matrix mit einem Wert außer $ad - bc$ oder 1 multiplizieren (und zu einer anderen Zeile addieren).
Damit komme ich jedoch nicht weiter.
Ein anderer Satz besagt, daß die Matrix $A$ regulär ist, gdw. $ad-bc [mm] \neq [/mm] 0$. Hilft aber auch nicht unbedingt, sondern sagt mir lediglich, daß es [mm] $A^{-1}$ [/mm] "irgendwie" geben muß ...
Weiß jemand Rat??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Fr 14.11.2008 | | Autor: | otto.euler |
Betrachte mal [mm] \pmat{ d & -b \\ -c & a }.
[/mm]
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> Sei [mm]K[/mm] ein Körper, und seien [mm]a,b,c,d\in K[/mm]. Man betrachte die
> [mm]2\times 2[/mm]-Matrix
>
> [mm]A := \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm].
>
> Man berechne im Falle [mm]ad - bc \neq 0[/mm] die Matrix [mm]A^{-1}[/mm].
> Hallo liebes Forum,
>
> Ich "hänge" bei o.g. Aufgabe. Um die inverse Matrix zu
> erstellen, baue ich zunächst die Matrix AI (mit I
> Einheitsmatrix) auf:
>
> [mm]\pmat{ a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1}[/mm].
>
> Erster Gedanke: Durch elementare Zeilenumformungen AI in IA
> zu überführen.
>
> Mein Problem: Es ist lediglich vorausgesetzt, daß [mm]ad - bc \neq 0[/mm].
> Daraus folgt jedoch nicht, daß eines der [mm]a, ..., d[/mm] ungleich
> 0 ist.
Hallo,
das ist richtig, braucht Dich jedoch nicht daran zu hindern, Gauß zu verwenden:
wenn Du irgendetwas tust, wo Du z.B. [mm] a\not=0 [/mm] benötigst, notierst Du "für [mm] a\not=0", [/mm] und untersuchst den fall a=0 anschließend. (Fallunterscheidungen)
Gruß v. Angela
Ich kann also keine Zeile der Matrix mit einem Wert
> außer [mm]ad - bc[/mm] oder 1 multiplizieren (und zu einer anderen
> Zeile addieren).
>
> Damit komme ich jedoch nicht weiter.
>
> Ein anderer Satz besagt, daß die Matrix [mm]A[/mm] regulär ist, gdw.
> [mm]ad-bc \neq 0[/mm]. Hilft aber auch nicht unbedingt, sondern sagt
> mir lediglich, daß es [mm]A^{-1}[/mm] "irgendwie" geben muß ...
>
> Weiß jemand Rat??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Fr 14.11.2008 | | Autor: | reverend |
Falls du das nicht so aus dem Ärmel schüttelst (wie otto.euler), dann schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
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