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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 30.05.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | V = endlich dimensionaler K-Vektorraum
M = Teilmenge von End(V) mit der Eigenschaft, V und {0} einzigen Unterräume von V, die unter allen [mm] \alpha \in [/mm] M invariant sind
[mm] \beta \not= [/mm] 0 ein Endomorphismus von V, der mit allen [mm] \alpha \in [/mm] M vertauscht.
Zeigen Sie:
1. [mm] \beta [/mm] ist ein Automorphismus
2. Im Falle K = [mm] \IC [/mm] hat [mm] \beta [/mm] sogar die Gestalt [mm] \beta [/mm] = [mm] xid_{v} [/mm] mit einem x [mm] \in \IC [/mm] \ {0} |
Hallo,
hänge mal wieder bei einer Aufgabe fest. Habe auch noch keinen richtigen Ansatz gefunden. Laut Hinweis soll [mm] "\beta \not= [/mm] 0 ein Endomorphismus von V, der mit allen [mm] \alpha \in [/mm] M vertauscht" folgendes bedeuten: [mm] \beta \circ \alpha [/mm] = [mm] \alpha \circ \beta [/mm] für alle [mm] \alpha \in [/mm] M wobei [mm] \circ [/mm] die Hintereinanderausführung von Endomorphismen beschreibt.
Kann mir jemanden vielleicht einen Tipp für den Start geben? Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Gruß
Vicky
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Hallo und guten Morgen,
zum ersten Teil würd ich versuchen, einen Widerspruchsbeweis zu führen: Wenn [mm] \beta [/mm] kein Automorphismus wäre,
so kann man sich leicht überlegen, dass es nicht die Null-Abb. sein kann, daher wäre also [mm] kern(\beta) [/mm] ein von [mm] \{0\} [/mm] und V verschiedener
Unterraum, der von mindestens einem [mm] g\in [/mm] M nicht fix gelassen wird, dann kriegt man direkt den Widerspruch [mm] (\beta [/mm] muss ja laut Voraussetzung mit
g vertauschen).
Im Fall [mm] K=\IC [/mm] sollte man mit einem analogen Ansatz weiterkommen: Nimm nen eindimensionalen
Unterraum, nimm an, dieser wird von [mm] \beta [/mm] nicht fix gelassen,
dann gibt es [mm] g\in [/mm] M, das diesen nicht fix lässt, und das gibt nen Widerspruch. Dann hat man schonmal: Für jeden eindim. Unterraum U von V gibt es
[mm] x_U\in\IC\setminus\{0\}, [/mm] s.d. [mm] \beta(v)=x_U\cdot [/mm] v, [mm] v\in [/mm] U. Zeige dann noch, dass all diese [mm] x_U [/mm] gleich sen müssen.
Hoffe, das hilft schon mal weiter.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 31.05.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo nochmal,
Frage zu Teil 1.
warum kann [mm] \beta [/mm] nicht die Nullabbildung sein? Und was bedeutet "fix lassen"?
Fließen in diese Aufgabe nicht die [mm] \alpha-invarianten [/mm] Unterräume ein?
[mm] \alpha [/mm] - invariant heißt ja, dass [mm] \alpha [/mm] {0} [mm] \subset [/mm] {0} und [mm] \alpha [/mm] (V) [mm] \subset [/mm] V
[mm] \beta \not= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] End(V)
[mm] \alpha \in [/mm] M und M = Teilmenge von End(V)
[mm] \beta \circ \alpha [/mm] = [mm] \alpha \circ \beta
[/mm]
Endomorphismus ist eine lineare Abbildung auf sich selbst
[mm] \alpha: [/mm] V [mm] \to [/mm] V und [mm] \beta: [/mm] V [mm] \to [/mm] V und nun geht es ja irgendwie um die Hintereinanderausführung der Endomorphismen
Irgendwie leuchtet es mir schon ein das [mm] \beta [/mm] ein Automorphismus sein muß aber ich kann es einfach nicht genau beschreiben.
Kann mir bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Do 01.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo vicky!
> Frage zu Teil 1.
> warum kann [mm]\beta[/mm] nicht die Nullabbildung sein?
Dieser Fall ist durch die in der Aufgabe gegebenen Voraussetzungen an [mm]\beta[/mm] ausgeschlossen worden.
> Und was bedeutet "fix lassen"?
Normaleweise meint man damit "punktweise fix": [mm]T\subseteq V \mathrm{\ fix\ unter\ } g\in End(V)\quad:\Longleftrightarrow\quad \forall x\in T:\, g(x)=x[/mm]
mathiash meinte damit aber vermutlich dasselbe wie "invariant", also [mm]g(T)\subseteq T[/mm] (was offensichtlich eine schwächere Eigenschaft ist).
> Fließen in diese Aufgabe nicht die [mm]\alpha-invarianten[/mm]
> Unterräume ein?
Richtig, er verwendet diese beim Schluß, daß, da [mm]\ker(\beta)\neq\{0\},V[/mm] ist, dieser Unterraum nicht unter allen [mm]g\in M[/mm] invariant sein kann.
Mir scheint es für beide Aufgabenteile nützlich zu sein, zunächst zu beweisen, daß jeder Eigenraum von [mm]\beta[/mm] wegen [mm]\beta\circ\alpha=\alpha\circ\beta[/mm] automatisch [mm]\alpha[/mm]-invariant ([mm]\alpha\in M[/mm]) ist.
Für den Kern von [tex]\beta[/tex] (der Eigenraum zum Eigenwert Null) folgt hieraus angesichts der Definition von M, daß dieser gleich [mm] $\{0\}$ [/mm] oder V sein muß, womit wir eigentlich schon fertig sind. (Dies ist dieselbe Lösung wie die von mathaish, nur halt "direkt".)
Im komplexen Fall ist entscheidend, daß hier auf jeden Fall ein Eigenwert von [mm] $\beta$ [/mm] existiert! Nach dem zuvor Gesagten (und der Defintion von M) muß der zugehörige Eigenraum dann aber bereits ganz V sein.
Grüße,
Galois
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 01.06.2006 | | Autor: | vicky |
> Hallo vicky!
>
> > Frage zu Teil 1.
> > warum kann [mm]\beta[/mm] nicht die Nullabbildung sein?
>
> Dieser Fall ist durch die in der Aufgabe gegebenen
> Voraussetzungen an [mm]\beta[/mm] ausgeschlossen worden.
>
> > Und was bedeutet "fix lassen"?
>
> Normaleweise meint man damit "punktweise fix": [mm]T\subseteq V \mathrm{\ fix\ unter\ } g\in End(V)\quad:\Longleftrightarrow\quad \forall x\in T:\, g(x)=x[/mm]
>
> mathiash meinte damit aber vermutlich dasselbe wie
> "invariant", also [mm]g(T)\subseteq T[/mm] (was offensichtlich eine
> schwächere Eigenschaft ist).
>
> > Fließen in diese Aufgabe nicht die [mm]\alpha-invarianten[/mm]
> > Unterräume ein?
>
> Richtig, er verwendet diese beim Schluß, daß, da
> [mm]\ker(\beta)\neq\{0\},V[/mm] ist, dieser Unterraum nicht unter
> allen [mm]g\in M[/mm] invariant sein kann.
>
>
> Mir scheint es für beide Aufgabenteile nützlich zu sein,
> zunächst zu beweisen, daß jeder Eigenraum von [mm]\beta[/mm] wegen
> [mm]\beta\circ\alpha=\alpha\circ\beta[/mm] automatisch
> [mm]\alpha[/mm]-invariant ([mm]\alpha\in M[/mm]) ist.
Wie kann ich das beweisen? Ich kenne leider nur die Definition von invariant, doch leider habe ich noch nicht wirklich mehr damit zu tun gehabt.
>
> Für den Kern von [tex]\beta[/tex] (der Eigenraum zum Eigenwert Null)
> folgt hieraus angesichts der Definition von M, daß dieser
> gleich [mm]\{0\}[/mm] oder V sein muß, womit wir eigentlich schon
> fertig sind. (Dies ist dieselbe Lösung wie die von
> mathaish, nur halt "direkt".)
Geht denn hier mit ein das [mm] \beta [/mm] ebenfalls ein Element aus M ist?
>
> Im komplexen Fall ist entscheidend, daß hier auf jeden Fall
> ein Eigenwert von [mm]\beta[/mm] existiert! Nach dem zuvor Gesagten
> (und der Defintion von M) muß der zugehörige Eigenraum dann
> aber bereits ganz V sein.
Also ich weiß das ein Eigenwert existiert. D.h. ich finde den Eigenverktor zu diesem Eigenwert und kann daraus auch den Eigenraum zu dem ermittelten Eigenvektor konstruieren. Warum ist der Eigenraum nun ganz V?
>
Vielen Dank für die großartige Hilfe.
Gruß
Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Do 01.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo vicky!
> > Mir scheint es für beide Aufgabenteile nützlich zu sein,
> > zunächst zu beweisen, daß jeder Eigenraum von [mm]\beta[/mm] wegen
> > [mm]\beta\circ\alpha=\alpha\circ\beta[/mm] automatisch
> > [mm]\alpha[/mm]-invariant ([mm]\alpha\in M[/mm]) ist.
>
> Wie kann ich das beweisen? Ich kenne leider nur die
> Definition von invariant, doch leider habe ich noch nicht
> wirklich mehr damit zu tun gehabt.
Sei [mm]\lambda\in\mathbb{C}[/mm] und [mm]x\in Eig(\beta,\lambda)[/mm]. Wir wollen zeigen, daß dann auch [mm]\alpha(x)\in Eig(\beta,\lambda)[/mm] gilt. Na, da benutzen wir einfach mal das, was wir so wissen: [mm]\beta(\alpha(x))=\alpha(\beta(x))=\alpha(\lambda x)=\lambda \alpha(x)[/mm]; dies bedeutet aber gerade, daß [mm]\alpha(x)\in Eig(\beta,\lambda)[/mm] ist.
> > Für den Kern von [tex]\beta[/tex] (der Eigenraum zum Eigenwert Null)
> > folgt hieraus angesichts der Definition von M, daß dieser
> > gleich [mm]\{0\}[/mm] oder V sein muß, womit wir eigentlich schon
> > fertig sind. (Dies ist dieselbe Lösung wie die von
> > mathaish, nur halt "direkt".)
>
> Geht denn hier mit ein das [mm]\beta[/mm] ebenfalls ein Element aus
> M ist?
Nein, im allg. ist das ja auch nicht der Fall. Wir verwenden hier nur, daß die [mm] $\beta$ [/mm] mit allen [mm] $\alpha\in [/mm] M$ kommutieren (s.o.), und anschließend, daß ein unter allen [mm]\alpha\in M[/mm] invarianter Unterraum nur [mm]\{0\}[/mm] oder V sein kann.
> > Im komplexen Fall ist entscheidend, daß hier auf jeden Fall
> > ein Eigenwert von [mm]\beta[/mm] existiert! Nach dem zuvor Gesagten
> > (und der Defintion von M) muß der zugehörige Eigenraum dann
> > aber bereits ganz V sein.
>
> Also ich weiß das ein Eigenwert existiert. D.h. ich finde
> den Eigenverktor zu diesem Eigenwert und kann daraus auch
> den Eigenraum zu dem ermittelten Eigenvektor konstruieren.
> Warum ist der Eigenraum nun ganz V?
Das Argument ist dasselbe wie zuvor beim Kern von [mm]\beta[/mm]: Ein solcher Eigenraum [mm]Eig(\beta,\lambda)[/mm] ist invariant unter allen [mm] $\alpha\in [/mm] M$. Nach Voraussetzung an M muß also [mm]Eig(\beta,\lambda)=\{0\}[/mm] oder =V sein. Der erste Fall scheidet aber aus, da sonst [mm]\lambda[/mm] kein Eigenwert wäre.
Grüße ins Hamburger Geomatikum,
Galois
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