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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:56 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe und würde gerne ob es soweit richtig ist.
Zeigen Sie, dass die durch
[mm] a_{1}=2 [/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}b_{n}} [/mm]
[mm] b_{1}=4 [/mm]
[mm] b_{n+1}=\bruch{2a_{n+1}b_{n}}{a_{n+1}+b_{n}} [/mm]
definierten folgen eine Intervallschachtelung [mm] [a_{n}, b_{n}] [/mm] ergeben.
Berechnen Sie den (gemeinsamen)Grenzwert der beiden Folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] mit Rechnerhilfe auf 5 Stellen genau.
Wenn ich es richtig verstanden habe dann soll man erstmal zeigen das die Folgen eine Intervallschachtelung ergeben.
Hier meine bisherige Rechnung:
Ich habe erstmal [mm] b_{n} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] berechnet: [mm] a_{n}= \wurzel{a_{n-1}*b_{n-1}}
[/mm]
für [mm] b_{n}=\bruch{2a_{n}b_{n-1}}{a_{n}+b_{n-1}}
[/mm]
sei [mm] I_{n} [/mm] für jedes [mm] n\in \IN [/mm] ein nichtleeres abgeschlossenes Intervall
[mm] I_{n} [/mm] ist eine Intervallschachtelung wenn
(i) [mm] I_{n+1}\subset I_{n} [/mm] für jedes [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}] [/mm] also [mm] a_{n} \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_{n}
[/mm]
(ii) Gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_{n}-a_{n})=0 \Rightarrowa \in \IR \to{a}= \bigcap_{n \in \IN}I_{n}
[/mm]
[mm] \forall n\in\IN
[/mm]
[mm] a_{n}\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_{n}]
[/mm]
mit [mm] a_{n} [/mm] monoton steigend und nach oben beschränkt: [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}
[/mm]
und [mm] b_{n} [/mm] monoton fallend und nach unten beschränkt: [mm] b=\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm]
dann ist
[mm] \forall n\in \IN [/mm]
[mm] a_{n}\le [/mm] a
[mm] b_{n}\le [/mm] b
[mm] a\le [/mm] b
[mm] \forall n\in\IN [/mm]
[mm] a_{n}\le a\le b\le b_{n} \Rightarrow a,b\in \bigcap_{n\in\IN}I_{n}
[/mm]
Jetzt sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[b_{n}-a_{n}]=0 \Rightarrow a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b
[/mm]
einsetzen und ausrechnen.
So das war es von meiner Seite aus. Mehr kann ich doch nicht zeigen das es sich um eine Intervallschachtelung handelt oder?
Wie rechne ich denn jetzt den Grenzwert auf 5 Stellen genau aus.
Ich da nämlich überhaupt nicht wie ich das anstellen soll.
Danke für eure Mühe
Gruß Yoko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 So 14.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
kann mir denn wenigstens jemand sagen wie ich den Grenzwert mit dem Rechner berechnen kann?
Gruß Yoko
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