Intervall [0,1] Maß Null < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Di 11.10.2011 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Warum hat das Invervall [0,1] nicht das Maß Null? |
Hallo!
Ich finde immer wieder die Defintion, dass das Intervall [0,1] nicht das Maß Null hat, jedoch finde ich nirgendwo eine genau Erklärung.
Ich weiß dass eine Menge M das Maß Null (m(M) = 0) wenn die Menge endlich ist, höchstens Abzählbar oder die Cantor Menge ist.
Definition:
M [mm] \subset \IR
[/mm]
m(M) = 0 <=> [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 : [mm] \summe_{k=1}^{\infty} |i_k| [/mm] < [mm] \epsilon \wedge [/mm] M [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} i_k
[/mm]
also höchstens abzählbar viele (offene oder abgeschlossene) Intervalle [mm] i_k [/mm] die M überdecken.
wie zeige ich dies?
lg
Baba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Di 11.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Baba!
> Warum hat das Invervall [0,1] das Maß Null?
Das haengt eindeutig vom Mass ab. Wenn du das Lebesgue-Mass nimmst, dann hat das Intervall allerdings nicht Mass 0, sondern 1.
> Ich finde immer wieder die Defintion, dass das Intervall
> [0,1] das Maß Null hat, jedoch finde ich nirgendwo eine
> genau Erklärung.
>
> Ich weiß dass eine Menge M das Maß Null (m(M) = 0) wenn
> die Menge endlich ist, höchstens Abzählbar oder die
> Cantor Menge ist.
> Definition:
>
> M [mm]\subset \IR[/mm]
> m(M) = 0 <=> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0 :
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} |i_k|[/mm] < [mm]\epsilon \wedge[/mm] M [mm]\subset \bigcup_{i=1}^{\infty} i_k[/mm]
Bezueglich dieser Definition hat die Menge $[0, 1]$ eben nicht Mass 0.
> also höchstens abzählbar viele (offene oder
> abgeschlossene) Intervalle [mm]i_k[/mm] die M überdecken.
>
> wie zeige ich dies?
Gar nicht, da es falsch ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 11.10.2011 | | Autor: | babapapa |
Hoppsa, hab mich vertan, meinte "nicht das maß null".
vielen dank für eure mühe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 12.10.2011 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Warum ist das Intervall [0,1] NICHT vom Maß Null? |
Hallo!
Bei der Fragestellung hatte sich ein Fehler eingeschlichen. Vielen Dank für jede Erklärung.
Vllt kann auch jemand eine einführende Literatur für Maßtheorie und Lebesgue Integral empfehlen.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Warum ist das Intervall [0,1] NICHT vom Maß Null?
> Hallo!
>
> Bei der Fragestellung hatte sich ein Fehler eingeschlichen.
> Vielen Dank für jede Erklärung.
> Vllt kann auch jemand eine einführende Literatur für
> Maßtheorie und Lebesgue Integral empfehlen.
>
> lg
D.L. Cohn, Measure Theory. Birkhäuser (1980).
J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie. Springer (2007).
W. Rudin, Real and Complex Analysis. 3rd edition, McGraw Hill (1986).
(Auch erhältlich als deutsches Taschenbuch: W. Rudin, Reelle und Komplexe Analysis. Oldenbourg (1999))
D. Werner, Einführung in die höhere Analysis. Springer (2006). Kapitel IV.
FRED
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