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| Aufgabe | 1.Bestimmen Sie das Interpolationspolynom für
[mm]\begin{array}{c||c|c|}
x_i & 1 & 2\\
\hline
y_i & 5 & 6\\
\end{array}[/mm]
2. Bestimmen Sie alle Polynome 2. Grades, die durch die gegebenen
Stützstellen gehen. |
Hi,
Und zwar habe ich als Interpolationspolynom:
[mm]f(x) = x+4[/mm]
Das ist ja kein Polynom 2. Grades. Wie bestimme ich nun die Polynome 2. Grades aus der 2. Aufgabe? Oder gibt es keine, da es sich um ein Polynom 1. Grades handelt?
freundliche Grüße
Malte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MalteHamburg92,
> 1.Bestimmen Sie das Interpolationspolynom für
> [mm]\begin{array}{c||c|c|}
x_i & 1 & 2\\
\hline
y_i & 5 & 6\\
\end{array}[/mm]
>
> 2. Bestimmen Sie alle Polynome 2. Grades, die durch die
> gegebenen
> Stützstellen gehen.
> Hi,
>
> Und zwar habe ich als Interpolationspolynom:
>
> [mm]f(x) = x+4[/mm]
>
> Das ist ja kein Polynom 2. Grades. Wie bestimme ich nun die
> Polynome 2. Grades aus der 2. Aufgabe? Oder gibt es keine,
> da es sich um ein Polynom 1. Grades handelt?
>
Die Aufgabenstellung verrät es ja schon.
Setze mit einem quadratischen Polynom an:
[mm]g\left(x\right):=a*x^{2}+b*x+c[/mm]
Löse dann die Gleichungen
[mm]g\left(1\right)=5[/mm]
[mm]g\left(2\right)=6[/mm]
Hier erhälst Du dann mehrere Lösungen.
Das ist auch so gewollt.
> freundliche Grüße
>
> Malte
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ich habe dann die Gleichungen
[mm]5 = a^2 + b+ c[/mm]
[mm]6 = 4a^2 + 2b+ c[/mm]
fehlt dann nicht noch ein Wert um die Gleichung zu lösen?
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Hallo Malte,
> Ich habe dann die Gleichungen
>
> [mm]5 = a^2 + b+ c[/mm]
> [mm]6 = 4a^2 + 2b+ c[/mm]
>
> fehlt dann nicht noch ein Wert um die Gleichung zu lösen?
Doch, natürlich. Das meinte MathePower mit "es gibt mehrere Lösungen". Um genau zu sein: unendlich viele.
Im übrigen würde ich a so ansetze, dass es nicht quadratisch, sondern linear vorkommt, also einfach [mm] y=ax^2+bx+c.
[/mm]
Dann kannst Du z.B. c als Parameter nehmen, also festsetzen, und dann (in Abhängigkeit von c) a und b bestimmen.
Grüße
reverend
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Danke für den Hinweis.
Dann habe ich die Gleichungen:
[mm]5 = a+b+c[/mm]
[mm]6 = 4a+2b+c[/mm]
[mm]a = -2 + \frac{c}{2}[/mm]
[mm]b = 7 + \frac{3c}{2}[/mm]
Setze ich die beiden Werte nun in
$y = [mm] ax^2+bx+c$ [/mm]
ein, habe ich dann die Polynome 2. Grades bestimmt?
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Hallo MalteHamburg92,
> Danke für den Hinweis.
>
> Dann habe ich die Gleichungen:
>
> [mm]5 = a+b+c[/mm]
> [mm]6 = 4a+2b+c[/mm]
>
> [mm]a = -2 + \frac{c}{2}[/mm]
> [mm]b = 7 + \frac{3c}{2}[/mm]
>
Da hat sich wohl ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]b = 7 \blue{-} \frac{3c}{2}[/mm]
> Setze ich die beiden Werte nun in
>
> [mm]y = ax^2+bx+c[/mm]
>
> ein, habe ich dann die Polynome 2. Grades bestimmt?
Ja.
Gruss
MathePower
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> Da hat sich wohl ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
Danke, habe ihn gefunden.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
gruß Malte
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| Aufgabe | | Stellen Sie fest, ob es ein Polynom gibt, welches ein Minimum bei [mm] $x_i [/mm] = 1; [mm] y_i [/mm] = 5$ hat. |
Da ich die x und y gegeben habe, kann ich die Gleichung
$5 = [mm] (-2+\frac{2}{c})(1)^2+(7-\frac{3c}{2})(1)+c$
[/mm]
aufstellen und das c ausrechnen? Oder muss ich erst die beiden Ableitungen der Funktion bilden und dann x und y einsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Fr 01.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Stellen Sie fest, ob es ein Polynom gibt, welches ein
> Minimum bei [mm]x_i = 1; y_i = 5[/mm] hat.
> Da ich die x und y gegeben habe, kann ich die Gleichung
>
> [mm]5 = (-2+\frac{2}{c})(1)^2+(7-\frac{3c}{2})(1)+c[/mm]
Damit stellst du fest, für welches c der Graph durch (1|5) verläuft. Anschließend musst du testen, ob das der Tiefpunkt ist.
Dieses Vorgehen ist aber umständlich.
Da die Funktion laut vorgegebener Wertetabelle sowieso durch (1|5) gehen soll, kannst du gleich die Scheitelpunktsform dafür
[mm] ($y=a*(x-1)^2+5$) [/mm] aufstellen und a so bestimmen, dass auch (2|6) darauf liegt. Falls a>0 gilt, ist die Parabel nach oben geöffnet.
Gruß Abakus
>
> aufstellen und das c ausrechnen? Oder muss ich erst die
> beiden Ableitungen der Funktion bilden und dann x und y
> einsetzen?
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Die Scheitelpunktform lautet ja
$ [mm] y=(x-d)^2+e [/mm] $ mit [mm] $d=-\frac{p}{2} [/mm] , [mm] e=q-(\frac{p}{2})^2$.
[/mm]
$p= [mm] (-2+\frac{2}{c}), [/mm] q = c$
Ich versteh nicht ganz wie du die Formel hergeleitet hast. Wo ist denn das c geblieben? Und wo stammt das a her?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Fr 01.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Die Scheitelpunktform lautet ja
>
> [mm]y=(x-d)^2+e[/mm] mit [mm]d=-\frac{p}{2} , e=q-(\frac{p}{2})^2[/mm].
>
> [mm]p= (-2+\frac{2}{c}), q = c[/mm]
>
>
> Ich versteh nicht ganz wie du die Formel hergeleitet hast.
> Wo ist denn das c geblieben? Und wo stammt das a her?
Hallo,
deine Scheitelpunktsform gilt nur nur eine ungestreckte Normalparabel der Form [mm] $y=x^2$, [/mm] die man verschoben hat.
Eine beliebige (zunächst unverschobene) Normalparabel hat die Form [mm] $y=a*x^2$.
[/mm]
Gruß Abakus
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Ok, und da
$ p= [mm] (-2+\frac{2}{c}), [/mm] q = c $
ist, wäre die Scheitelpunktform
[mm] $y=a*(x-1+c)^2+(1+c+c^2)$
[/mm]
Dann setze ich da die Werte für x und y ein und rechne das a aus und habe somit das Minimum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Fr 01.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Ok, und da
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> [mm]p= (-2+\frac{2}{c}), q = c[/mm]
>
> ist, wäre die Scheitelpunktform
>
> [mm]y=a*(x-1+c)^2+(1+c+c^2)[/mm]
>
> Dann setze ich da die Werte für x und y ein und rechne das
> a aus und habe somit das Minimum?
Hallo,
mit Werten p und q kannst du nur in der Normalform arbeiten, aber nicht, wenn vor dem [mm] $x^2$ [/mm] ein Faktor [mm] $a\ne1$ [/mm] steht.
Verfolge deinen Anfangsweg oder lies meine Antwort richtig.
Gruß Abakus
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