Interpolationspolynom < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen!!
ich lerne gerade für die Numerik I und II Prüfung.
Habe im Moment paar kleine Fragen, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
1. Wenn wir eine Funktion zu vorgegebenen Stützstellen interpolieren, so besteht die Gefahr, falls zu vielele Stützstellen, somit ein höherer Grad des Plynoms usw.,
das das Int.-Polynom an den Rändern ossziliert.
wieso eigentlich?? kann mir jemand einen intuitiven Tipp dazu geben???
2. Wir wissen ja wie eine Quadratur einer Funktion f zu gegebenen Stützstellen
allgemein aussieht. Falls wir nun äquidistante Stützstellen haben ergibt sich dann eine andere Form.
Wo haben wir da dann den Vorteil ??? Haben wir da denn Vorteil in der Rundung?? Weiß das jemand???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mo 25.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du Messpunkte durch ein Polynom interpolieren willst, bekommst du sehr schnell ein Polynom von hohem Grad. Diese Polynome haben die hier unangenehme Eigenart, dass sie auch viele mögliche Extrempunkte und Wendepunkte haben. Ausserdem ist die Steigung oft sehr gross.
Beispiel (![[]](/images/popup.gif) hiermit bestimmt)
P(4/3), Q(5/3) R(1/4) S(-1/-2)
ergibt:
[mm] P(x)=\bruch{1}{8}x^{3}-\bruch{7}{6}x^{2}+\bruch{23}{8}x+\bruch{13}{6}
[/mm]
Nimmt man noch T(2/4) und U(0/4) dazu ergibt sich:
[mm] P(x)=\bruch{7}{180}x^{5}-\bruch{53}{120}x^{4}+\bruch{76}{45}x^{3}-\bruch{307}{120}x^{2}+\bruch{229}{180}x+4
[/mm]
Daran siehst du, dass das zweite Polynom doch sehr stark ozziliiert, obwohl die Punkte sogar noch relativ nah beisammen sind.
Nimmt man noch den entfernten Punkt V(20/30) dazu, wird es ganz extrem deutlich, das ergibt nämlich:
[mm] p(x)=-\bruch{13253}{6894720}x^{6}+\bruch{413911}{6894720}x^{5}-\bruch{3535529}{6894720}x^{4}+\bruch{12028753}{6894720}x³-\bruch{450931}{181440}x²+\bruch{1030187}{861840}x+4
[/mm]
Und dieser Graph oszilliert ganz extrem
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
Naja ok,
jetzt sehe ich an einem Beispiel wie dies oszilliert, aber eine Antwort sehe ich trotzdem nicht.
Wieso habe ich in der Mitte keine starke oszillation???
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> 1. Wenn wir eine Funktion zu vorgegebenen Stützstellen
> interpolieren, so besteht die Gefahr, falls zu vielele
> Stützstellen, somit ein höherer Grad des Plynoms usw.,
> das das Int.-Polynom an den Rändern ossziliert.
>
> wieso eigentlich?? kann mir jemand einen intuitiven Tipp
> dazu geben???
Dass die starken Oszillationen hauptsächlich für grössere
Werte von |x| entstehen, liegt daran, dass die Grundfunktionen
einer polynomialen Approximation, also die Funktionen
[mm] f_k(x)=x^k
[/mm]
für grosse |x| sehr stark wachsen (dem Betrag nach),
wenn k gross ist. Und je mehr Stützstellen man hat,
umso höhere Potenzen von x benötigt man ja im
entsprechenden Polynom. Betrachte nur einmal die
Graphen von [m]\ f_k(x)=x^k[/m] für [mm] k\in \{1,2,3, ... 10\} [/mm] im
Bereich [mm] -2\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 !
> 2. Wir wissen ja wie eine Quadratur einer Funktion f zu
> gegebenen Stützstellen
> allgemein aussieht. Falls wir nun äquidistante
> Stützstellen haben ergibt sich dann eine andere Form.
> Wo haben wir da dann den Vorteil ??? Haben wir da denn
> Vorteil in der Rundung?? Weiß das jemand???
Was du mit dieser Frage genau meinst, ist mir nicht klar.
Wenn von einer Funktion z.B. nur die Werte an 20 Stütz-
stellen bekannt sind (ob äquidistant oder nicht), ist es
offenbar keine gute Idee, ein Polynom 19. Grades aufzu-
stellen, das durch alle Stützpunkte geht und dann dieses
zu integrieren (genau wegen der zu befürchtenden
wilden Oszillationen). Besser ist es, nicht eine einzige
Approximationsfunktion zu nehmen, sondern eine ganze
Serie davon, z.B. Splinefunktionen.
Für den Fall äquidistanter Stützstellen gibt es darauf
zugeschnittene Methoden, die die Rechnungen ein
Stück weit systematisieren und vereinfachen. Was dies
mit der Genauigkeit der zu erwartenden Ergebnisse (nach
der Integration) zu tun hat, weiss ich nicht.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:03 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
erstmal dankeschön :)) mit der Antwort zu der ersten Frage kann ich schon etwas anfangen.
Bei der zweiten Frage meine ich:
Problem: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=?
[/mm]
geg.: [mm] (t_{i},f(t_{i})) [/mm] i=0,...,m (*)
Lösung: bilde ein Interpolationspolynom p zu (*)
dann gilt mit Lagrange
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}\sim\summe_{i=0}^{m}f(t_{i})\alpha_{i}
[/mm]
wobei [mm] \alpha_{i}=\integral_{a}^{b}{\produkt_{j=0}^{m} \bruch{t-t_{j}}{t_{i}-t_{j}}dt} [/mm] wobei [mm] j\not=i
[/mm]
falls nun [mm] t_{i}=a+hi [/mm] mit [mm] h:=\bruch{b-a}{m}
[/mm]
dann gilt
[mm] h\alpha_{i}=\integral_{0}^{m}{\produkt_{j=0}^{m} \bruch{s-j}{i-j}ds} [/mm] wobei [mm] j\not=i
[/mm]
naja, die Darstellung bis auf s verwendet ja nur ganze Zahlen, d. h. keine Rundungsfehler. Sonst wusste ich nicht, wieso del letzte ausdruck besser als der erste sein soll.
verstehst du mich jetzt besser??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
sorry, eigentlich sollte das eine Frage sein :))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mi 27.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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