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Intergrale: Bestimmtes Integral
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Mi 27.07.2005
Autor: asuka

Hallo!
Ich hab ein Problem mit einem bestimmten Integral.

Ich habe einen Lösungsansatz aber ich komme dann irgendwann nicht mehr weiter.

[mm] \integral_{ \bruch{1}{6}}^{1} {\bruch{(6x+1) cos \wurzel{3x^{2}+x}sin\wurzel{3x^{2}+x}}{ \wurzel{3x^{2}+x}} dx} [/mm]

jetzt hab ich substituiert

u= [mm] 3x^{2}+x [/mm]
u´= 6x+1

dann sieht mein Integral so aus

[mm] \integral_{\bruch{1}{6}}^{1} {\bruch{cos \wurzel{u} sin\wurzel{u}}{\wurzel{u}} du} [/mm]

ab jetzt bin ich mir nicht sicher. Ich hab jetzt  [mm] \wurzel{u} [/mm] substituiert

t= [mm] \wurzel{u} [/mm]
t´= [mm] \bruch{1}{2\wurzel{u}} [/mm]

dann sieht das Integral ao aus

[mm] \integral_{\bruch{1}{6}}^{1} {\bruch{cos t * sin t}{t} \bruch{2\wurzel{u}}{1} dt} [/mm]

Geht das überhaupt? Ich habe hier dann doch zwei Variablen. Oder darf ich das [mm] \wurzel{u} [/mm] durch t ersetzten. denn dann würde es sich ja rauskürzen.
Ich komme hier irgendwie nicht weiter. Bin ich bis hier überhaupt richtig?

Wär toll wenn mir da jemand helfen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem andrem Forum gestellt

Mfg Asuka
        
Bezug
Intergrale: Richtiger Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Mi 27.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Asuka!


Da hast Du doch schon sehr gut angefangen [daumenhoch] !


Schneller ginge es mit der Substitution $y \ := \ [mm] \wurzel{3x^2+x}$ [/mm] .

Und am allerschnellsten klappt es gar mit: $z \ := \ [mm] \sin\left(\wurzel{3x^2+x}\right)$ [/mm]


> dann sieht mein Integral so aus
>  
> [mm]\integral_{\bruch{1}{6}}^{1} {\bruch{cos \wurzel{u} sin\wurzel{u}}{\wurzel{u}} du}[/mm]

[ok] Hier mußt Du aufpassen: Entweder Du passt Deine Integrationsgrenzen auch der neuen Integrationsvariablen $u_$ an und erhältst:

[mm] $u_1 [/mm] \ = \ [mm] 3*\left(\bruch{1}{6}\right)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm]

[mm] $u_2 [/mm] \ = \ [mm] 3*1^2 [/mm] + 1 \ = \ 4$


Oder aber Du löst dieses Integral zunächst als unbestimmtes Integral und mußt am Ende auch alle Substitionen rückgängig machen ("Re-Subsitution") und kannst dann Deine alten Grenzen verwenden.



> ab jetzt bin ich mir nicht sicher. Ich hab jetzt  
> [mm]\wurzel{u}[/mm] substituiert
>  
> t= [mm]\wurzel{u}[/mm]
> t´= [mm]\bruch{1}{2\wurzel{u}}[/mm]
>  
> dann sieht das Integral ao aus
>  
> [mm]\integral_{\bruch{1}{6}}^{1} {\bruch{cos t * sin t}{t} \bruch{2\wurzel{u}}{1} dt}[/mm]

Bitte wieder den Hinweise mit den Integrationsgrenzen beachten!


> Oder darf ich das [mm]\wurzel{u}[/mm] durch t ersetzten. denn dann
> würde es sich ja rauskürzen.

[ok] Genauso geht's !!


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Intergrale: re substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Do 28.07.2005
Autor: asuka

[mm]\integral_{\bruch{1}{6}}^{1} {\bruch{cos t * sin t}{t} \bruch{2\wurzel{u}}{1} dt}[/mm]

> > Oder darf ich das [mm]\wurzel{u}[/mm] durch t ersetzten. denn dann
> > würde es sich ja rauskürzen.
>  
> [ok] Genauso geht's !!
>  

Gut Danke erstmal soweit! Wir sollen die Integrationsgrenzen erst nach der re susbtition erst wieder beachten deswegen hab ich sie so gelassen.

Also wenn sich t rauskürzt bleibt ja nur

[mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos t * sin t * 2 dt}  übrig

Hab jetzt die 2 vor das integral gezogen und dann integriert so komm ich auf

2 * [mm] \bruch{1}{2t} sin^{2}(t) [/mm]

jetzt re substitutieren:

2 *  [mm] \bruch{1}{2\wurzel{u}} sin^{2} (\wurzel{u}) [/mm]

und noch einmal:

2 *  [mm] \bruch{1}{2\wurzel{3x^{2}+x}} sin^{2} (\wurzel{3x^{2}+x}) [/mm]

Jetzt hab ich die Grenzen eingesetzt. aber die ergebnisse die da rauskommen sind eigentlich eher abwegig. ich hab also die vermutung das da irgendwas falsch ist.
Kann mir da nochmal jemand helfen?

Mfg Asuka
Bezug
                        
Bezug
Intergrale: Stammfunktion falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Do 28.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Asuka!



> Also wenn sich t rauskürzt bleibt ja nur
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] {cos t * sin t * 2 dt}  übrig

[ok]


  
> Hab jetzt die 2 vor das integral gezogen und dann
> integriert so komm ich auf
>  
> 2 * [mm]\bruch{1}{2t} sin^{2}(t)[/mm]

[notok] Hier hast Du ein $t_$ zuviel in der Stammfunktion:

[mm] $2*\integral{\sin(t)*\cos(t) \ dt} [/mm] \ = \ 2 * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \sin^2(t) [/mm] \ = \ [mm] \sin^2(t)$ [/mm]


Kommst Du dann mit Deinem Ergebnis hin ??

Ich erhalte (ohne Garantie ;-) ...) : [mm] $\integral_{\bruch{1}{6}}^{1}{ \ ... \ dx} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0,60$


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Intergrale: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Do 28.07.2005
Autor: asuka


> > 2 * [mm]\bruch{1}{2t} sin^{2}(t)[/mm]
>  
> [notok] Hier hast Du ein [mm]t_[/mm] zuviel in der Stammfunktion:
>  
> [mm]2*\integral{\sin(t)*\cos(t) \ dt} \ = \ 2 * \bruch{1}{2} * \sin^2(t) \ = \ \sin^2(t)[/mm]
>  
>
> Kommst Du dann mit Deinem Ergebnis hin ??
>  
> Ich erhalte (ohne Garantie ;-) ...) :
> [mm]\integral_{\bruch{1}{6}}^{1}{ \ ... \ dx} \ \approx \ 0,60[/mm]
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

Ah da lag der fehler! Danke! ich komme auch auf 0,60 also denke ich mal des wird stimmen.

Mfg Asuka
Bezug
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