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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
warum wird bei einem Integritätsring der Nullring ausgeschlossen? Ich mein es gilt ja bei einem Integritätsring ab=0, also ist a oder b gleich 0. Es könnten doch aber auch a und b 0 sein, was doch im Nullring der Fall wäre, warum muss dieser Fall ausgeschlossen werden?
Achja und bei folgendes Definition:
Ein Ideal I [mm] \not= [/mm] R eines Rings R heißt Primideal, falls für ab [mm] \in [/mm] R mit
ab [mm] \in [/mm] I stets a [mm] \in [/mm] I oder b [mm] \in [/mm] I folgt.
Heißt das wirklich oder, oder können auch a und b [mm] \in [/mm] I sein?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 12.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> warum wird bei einem Integritätsring der Nullring
> ausgeschlossen? Ich mein es gilt ja bei einem
> Integritätsring ab=0, also ist a oder b gleich 0. Es
> könnten doch aber auch a und b 0 sein, was doch im
> Nullring der Fall wäre, warum muss dieser Fall
> ausgeschlossen werden?
Es macht aus verschiedensten Gruenden Sinn, den Fall auszuschliessen. Zwei Gruende hier:
* so hat jeder Integritaetsring einen Quotientenkoerper (der Nullring hat keinen);
* ein kommutativer Ring mit Eins ist genau dann ein Integritaetsbereich, wenn [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] ein Primideal in ihm ist (im Nullring ist das Nullideal der ganze Ring und somit kein Primideal).
Laesst man den Nullring zu, so muss man hier Ausnahmen behandeln.
> Achja und bei folgendes Definition:
>
> Ein Ideal I [mm]\not=[/mm] R eines Rings R heißt Primideal, falls
> für ab [mm]\in[/mm] R mit
> ab [mm]\in[/mm] I stets a [mm]\in[/mm] I oder b [mm]\in[/mm] I folgt.
>
> Heißt das wirklich oder, oder können auch a und b [mm]\in[/mm] I
> sein?
Klar. Das "oder" ist im mathematischen Sinn, nicht im "exklusiven oder"-Sinn.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Alles klar, danke!
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