Integritätsring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Di 18.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] R\neq [/mm] 0 ein Integritätsring, in dem jeder echte Teilring nur endlich viele Elemente hat. Zeigen Sie, dass R ein Körper ist. |
[Ich habe diese Frage so ähnlich schonmal gestellt, dann aber durch meine Nachfragerei und durch blöde Fehler für Verwirrung gesorgt, sodass nun keiner mehr durchsteigt, daher stelle ich sie nochmal. Ich hoffe, das geht okay!]
Meine Ideen:
Ein Körper ist nach Definition ein kommutativer Schiefkörper.
Ein Ring (R,+,*) mit Einselement heißt Schiefkörper, wenn jedes [mm] x\in R\backslash\{0\} [/mm] invertierbar ist, d.h. es existiert ein [mm] x^{-1}\in [/mm] R mit [mm] x^{-1}*x=x*x^{-1}=1.
[/mm]
Man muss also zeigen, dass der Ring R in der Aufgabenstellung ein kommutativer Schiefkörper ist.
Vieles davon ist schon erfüllt: R hat ein Einselement und ist kommutativ, da R Integritätsring ist.
Bleibt also noch zz., dass jedes [mm] x\in R\backslash \{0\} [/mm] invertierbar ist.
Und ich weiß nicht, wie man das zeigen kann.
Ich wäre dankbar für einen kleinen Tipp!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 18.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]R\neq[/mm] 0 ein Integritätsring, in dem jeder echte
> Teilring nur endlich viele Elemente hat. Zeigen Sie, dass R
> ein Körper ist.
> [Ich habe diese Frage so ähnlich schonmal gestellt, dann
> aber durch meine Nachfragerei und durch blöde Fehler für
> Verwirrung gesorgt, sodass nun keiner mehr durchsteigt,
> daher stelle ich sie nochmal. Ich hoffe, das geht okay!]
>
>
> Meine Ideen:
>
> Ein Körper ist nach Definition ein kommutativer
> Schiefkörper.
>
> Ein Ring (R,+,*) mit Einselement heißt Schiefkörper, wenn
> jedes [mm]x\in R\backslash\{0\}[/mm] invertierbar ist, d.h. es
> existiert ein [mm]x^{-1}\in[/mm] R mit [mm]x^{-1}*x=x*x^{-1}=1.[/mm]
>
> Man muss also zeigen, dass der Ring R in der
> Aufgabenstellung ein kommutativer Schiefkörper ist.
>
> Vieles davon ist schon erfüllt: R hat ein Einselement und
> ist kommutativ, da R Integritätsring ist.
>
> Bleibt also noch zz., dass jedes [mm]x\in R\backslash \{0\}[/mm]
> invertierbar ist.
>
>
> Und ich weiß nicht, wie man das zeigen kann.
Sei $U$ der kleinste Unterring von $R$, der $x$ enthaelt (also $U = [mm] \IZ[U]$).
[/mm]
Es gibt zwei Faelle:
a) $U [mm] \subsetneqq [/mm] R$;
b) $U = R$.
Im Fall a) hat $U$ endlich viele Elemente nach Voraussetzung. Was folgt fuer $U$ und damit fuer $x$?
Im Fall b) schau dir den Unterring $V$ an, der von [mm] $x^2$ [/mm] erzeugt wird. Kannst du etwas ueber $U$ und $V$ sagen? Was folgt daraus?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 18.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe dazu eine Nachfrage.
"Sei U der kleinste Unterring von R, der x enthält."
Ist damit das Erzegnis <x> gemeint?
[Ich weiß noch aus der Gruppentheorie, dass "die kleinste Untergruppe" immer mit dem Erzeugnis zu tun hatte.]
Ist <x> so definiert:
[mm] :=\bigcap\{S:x\subseteq S\} [/mm] S Teilring von R?
--------------------------
Jedenfalls würde ich sagen:
Wenn Fall a) gilt, dann sind ja die enthaltenen Elemente in U bzw. <x> Elemente der Formen [mm] x,x^2,x^3,... [/mm] und da U endlich ist, muss doch irgendwann sich das neutrale Element ergeben.. also z.B. [mm] x^n=e.
[/mm]
Also gilt doch [mm] x*x^{n-1}=e [/mm] und x ist also invertierbar?
Zu b) weiß ich grad noch nichts.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe dazu eine Nachfrage.
>
> "Sei U der kleinste Unterring von R, der x enthält."
>
> Ist damit das Erzegnis <x> gemeint?
Wenn ihr das als <x> schreibt, ja. (Normalerweise bezeichnet man damit das von $x$ erzeugte Ideal -- das ist hier nicht gemeint!)
> [Ich weiß noch aus der Gruppentheorie, dass "die kleinste
> Untergruppe" immer mit dem Erzeugnis zu tun hatte.]
>
> Ist <x> so definiert:
>
> [mm]:=\bigcap\{S:x\subseteq S\}[/mm] S Teilring von R?
Ja.
Oder alternativ: ist $R'$ der Primring von $R$ (isomorph zu [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] fuer ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n$ kann auch 0 sein), so ist $<x> = R'[x]$.
Zu dieser Aufgabe: falls $R' [mm] \cong \IZ/0\IZ \cong \IZ$ [/mm] ist, was bedeutet es fuer $R$? Gilt dann auch $R [mm] \cong \IZ$? [/mm] Und wenn $n > 0$ ist, was fuer Werte kann $n$ annehmen?
> --------------------------
>
> Jedenfalls würde ich sagen:
>
> Wenn Fall a) gilt, dann sind ja die enthaltenen Elemente in
> U bzw. <x> Elemente der Formen [mm]x,x^2,x^3,...[/mm] und da U
> endlich ist, muss doch irgendwann sich das neutrale Element
> ergeben.. also z.B. [mm]x^n=e.[/mm]
Nein, es gibt erstmal nur $i, j$ mit $i < j$ und [mm] $x^i [/mm] = [mm] x^j$. [/mm] Du musst jetzt noch verwenden, dass $R$ ein Integritaetsring ist.
> Also gilt doch [mm]x*x^{n-1}=e[/mm] und x ist also invertierbar?
>
>
> Zu b) weiß ich grad noch nichts.
Du hast zwei Faelle: $V = R$ oder $V [mm] \subsetneqq [/mm] R$. Im zweiten Fall ist [mm] $x^2$ [/mm] invertierbar (nach Fall (a) von oben). Folgt daraus schon, dass $x$ invertierbar ist?
Im anderen Fall gilt $V = R = U$. Also kannst du $x = [mm] f(x^2)$ [/mm] schreiben mit einem Polynom $f [mm] \in \IZ[x]$. [/mm] (Das liegt daran, dass $V$ und $U$ die von [mm] $x^2$ [/mm] bzw. $x$ erzeugten Unterringe sind und dass $x [mm] \in [/mm] V$ ist.)
Kannst du damit etwas machen? Beachte, dass $R = R'[x]$ ist mit $R' [mm] \cong \IZ/n\IZ$ [/mm] und dass $n$ nicht jeder Wert sein kann (siehe oben).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:00 Mi 19.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
>
> Oder alternativ: ist [mm]R'[/mm] der Primring von [mm]R[/mm] (isomorph zu
> [mm]\IZ/n\IZ[/mm] fuer ein [mm]n \in \IN[/mm], [mm]n[/mm] kann auch 0 sein), so ist
> [mm] = R'[x][/mm].
Der Begriff "Primring" war mir bis eben unbekannt. Wenn ich Dich richtig verstanden habe, dann versteht man darunter den kleinsten Unterring von R und wird erzeugt von den Vielfachen [mm] \IZ [/mm] * [mm] 1_R.
[/mm]
>
> Zu dieser Aufgabe: falls [mm]R' \cong \IZ/0\IZ \cong \IZ[/mm] ist,
> was bedeutet es fuer [mm]R[/mm]?
> Gilt dann auch [mm]R \cong \IZ[/mm]?
Wenn [mm] R'\cong \IZ [/mm] ist, so ist jedenfalls R' ein Primring, weil [mm] \IZ [/mm] ein Primring ist.
Was daraus für R folgt, weiß ich nicht sicher. Da R' die kleinste Untergruppe von R ist, würde ich sagen, dass R selbst kein Primring ist, weil ja dann für eine Isomorphie zu [mm] \IZ [/mm] zu viele Elemente noch in R enthalten sind.
[Und das würde bedeuten, dass R kein Integritätsring sein kann, weil [mm] \IZ [/mm] ein Integritätsring ist. Also muss n>0 sein] Das Letzte ist nur eine Vermutung.
> Und wenn [mm]n > 0[/mm] ist, was fuer Werte kann [mm]n[/mm] annehmen?
[Muss n dann eine Primzahl sein? Ich habe bei Wikipedia gelesen, dass das so sein muss, damit [mm] \IZ\backslash n\IZ [/mm] ein Integritätsring ist.]
> > --------------------------
> >
> > Jedenfalls würde ich sagen:
> >
> > Wenn Fall a) gilt, dann sind ja die enthaltenen Elemente in
> > U bzw. <x> Elemente der Formen [mm]x,x^2,x^3,...[/mm] und da U
> > endlich ist, muss doch irgendwann sich das neutrale Element
> > ergeben.. also z.B. [mm]x^n=e.[/mm]
>
> Nein, es gibt erstmal nur [mm]i, j[/mm] mit [mm]i < j[/mm] und [mm]x^i = x^j[/mm]. Du
> musst jetzt noch verwenden, dass [mm]R[/mm] ein Integritaetsring
> ist.
Ich sehe nicht genau, wie ich das ausnutzen kann.
Welche der Eigenschaften muss ich denn nutzen?
Kommutativität? Nullteilerfreiheit? Einselement?
Ich würde es mal so versuchen:
Da in <x> ja x enthalten ist, und man x schreiben kann als x=1*x, da [mm] x\in [/mm] R und R Integritätsring, so kann man doch sagen, dass das Einselement in <x> ist? Und man kann umstellen, oder? Also [mm] x*x^{-1}=1.
[/mm]
>
> > Also gilt doch [mm]x*x^{n-1}=e[/mm] und x ist also invertierbar?
> >
> >
> > Zu b) weiß ich grad noch nichts.
>
> Du hast zwei Faelle: [mm]V = R[/mm] oder [mm]V \subsetneqq R[/mm]. Im zweiten
> Fall ist [mm]x^2[/mm] invertierbar (nach Fall (a) von oben). Folgt
> daraus schon, dass [mm]x[/mm] invertierbar ist?
>
> Im anderen Fall gilt [mm]V = R = U[/mm]. Also kannst du [mm]x = f(x^2)[/mm]
> schreiben mit einem Polynom [mm]f \in \IZ[x][/mm]. (Das liegt daran,
> dass [mm]V[/mm] und [mm]U[/mm] die von [mm]x^2[/mm] bzw. [mm]x[/mm] erzeugten Unterringe sind
> und dass [mm]x \in V[/mm] ist.)
>
> Kannst du damit etwas machen? Beachte, dass [mm]R = R'[x][/mm] ist
> mit [mm]R' \cong \IZ/n\IZ[/mm] und dass [mm]n[/mm] nicht jeder Wert sein kann
> (siehe oben).
>
> LG Felix
>
Ich glaub, das ist alles eine Nummer zu groß für mich. Aber ich versuchs trotzdem mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 21.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:59 Mi 26.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich muss leider nochmal auf diese Frage zurückkommen, auch, wenn niemand mehr reagiert hat.
Ich habe mich gefragt, ob man nicht für diese Aufgabe die Tatsache verwenden könnte, dass in einem endlichen Ring alle Elemente entweder Einheiten oder aber Nullteiler sind. |
Nach Voraussetzung sind die echten Teiringe ja endlich.
Demnach wären alle in diesen Teilringen enthaltenen Elemente Einheiten (also invertierbar), weil es sich ja um Teilringe eines Integritätsrings handelt, können die Elemente nämlich keine Nullteiler sein.
Kann man das so sagen?
Was ist aber mit den Elemente, die nicht in den echten Teilringen liegen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 28.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Mi 26.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]R\neq[/mm] 0 ein Integritätsring, in dem jeder echte
> Teilring nur endlich viele Elemente hat. Zeigen Sie, dass R
> ein Körper ist.
Zwei Nachfragen:
a) Haben Teilringe bei euch eine 1?
b) Wenn ja, ist diese 1 mit der 1 des Ringes identisch?
Falls beides bejaht wird, ist $R = [mm] \IZ$ [/mm] ein Gegenbeispiel zur Aussage. (Dieser hat naemlich keine echten Teilringe.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 19:20 Mi 26.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Darf ich mal Fragen, was von diesem Beweis zu halten ist? |
http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_Körper:_Endlicher_Integritätsbereich
Würde der die Aufgabe beweisen oder sind dort andere Voraussetzungen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Fr 28.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 26.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Wir haben darüber keine Vereinbarungen gemacht.
Soweit ich weiß, wird keins von beiden als gegeben vorausgesetzt.
|
|
|
|
