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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 So 26.04.2009 | | Autor: | Judyy |
| Aufgabe | Sei R ein Integritätsring und sei [mm] f=\summe_{i=0}^{n}a_{i}t^{i} \in [/mm] R[t].
Die formale Ableitung sei definiert als das Polynom [mm] f'=\summe_{k=1}^{n}ka_{k}t^{k-1} [/mm] = [mm] a_{1}+2a_{2}t+\ldots+na_{n}t^{n-1}
[/mm]
Beweisen Sie die folgenden Aussagen für alle f, g [mm] \inR[/mm] [t] und [mm] \lambda \inR [/mm] :
(a) [mm] (\lambda [/mm] f)' = [mm] \lambda [/mm] f' und (f+g)' = f' + g'
(b) (fg)' = f'g + fg'
(c) [mm] (g^{n})' [/mm] = [mm] ng^{n-1}g' [/mm] für alle n [mm] \in\IN [/mm] |
Mein Tutor meinte, ich müsse irgendwelche Axiome nachrechnen, leider weiß ich nicht welche. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Zu (a) habe ich mir überlegt, die Definitonen einzusetzen. Komme aber nicht weiter.
Muss mein g wie die Summe von f gewählt sein, oder ist g wie [mm] \lambda [/mm] einfach ein Element aus R?
Generelle Lösungsansätze?
Schonmal Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:11 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R ein Integritätsring und sei
> [mm]f=\summe_{i=0}^{n}a_{i}t^{i} \in[/mm] R[t].
> Die formale Ableitung sei definiert als das Polynom [mm]f'=\summe_{k=1}^{n}ka_{k}t^{k-1}[/mm] = [mm]a_{1}+2a_{2}t+\ldots+na_{n}t^{n-1}[/mm]
>
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen für alle f, g [mm]\inR[/mm] [t]und [mm]\lambda \inR[/mm] :
>
> (a) [mm](\lambda[/mm] f)' = [mm]\lambda[/mm] f' und (f+g)' = f' + g'
> (b) (fg)' = f'g + fg'
> (c) [mm](g^{n})'[/mm] = [mm]ng^{n-1}g'[/mm] für alle n [mm]\in\IN[/mm]
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> Mein Tutor meinte, ich müsse irgendwelche Axiome nachrechnen, leider weiß ich nicht welche. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Du musst nicht ``irgendwelche Axiome'' nachrechnen, sondern die oben genannten Bedingungen (a), (b) und (c).
> Zu (a) habe ich mir überlegt, die Definitonen einzusetzen. Komme aber nicht weiter.
Schreib doch mal auf was genau du da schon hast.
Mal ein Beispiel:
Du hast $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] R$, und [mm] $\lambda \in [/mm] R$. Dann ist [mm] $(\lambda [/mm] f)' = [mm] \left( \sum_{i=0}^n (\lambda a_i) x^i \right)' [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i [mm] (\lambda_i a_i) x^{i - 1} [/mm] = [mm] \lambda \sum_{i=1}^n [/mm] i [mm] a_i x^{i-1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] f'$.
> Muss mein g wie die Summe von f gewählt sein, oder ist g wie [mm]\lambda[/mm] einfach ein Element aus R?
Ja, $g$ ist ein Polynom so wie $f$. Also etwa $g = [mm] \sum_{j=0}^m b_j x^j$ [/mm] mit [mm] $b_j \in [/mm] R$. (Du kannst uebrigens ohne Einschraenkung $n = m$ waehlen.)
> Generelle Lösungsansätze?
Mach bei (c) eine Induktion und verwende (b).
LG Felix
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