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Ich habe wieder einmal einen Beweis, den ich nicht verstehe.
Der Satz ist folgender: Sei (R,+,*) ein Integritätsbereich mit 1 [mm] \in [/mm] R. Dann existiert der Quotientenkörper [mm] K=\{\bruch{a}{b} | a,b \in R, b \not= 0 \} [/mm] von R. Existiert ein normiertes Polynom f(x) [mm] \in [/mm] R[x] mit einer Nullstelle [mm] \alpha \in [/mm] K \ R, so ist R kein ZPE-Ring.
Beweis: Annahme: R ist ZPE-Ring. Dann besitzt jedes [mm] \alpha \in [/mm] K \ R die Form [mm] \alpha=\bruch{a}{b} [/mm] mit a,b [mm] \in [/mm] R, b [mm] \not= [/mm] 0 (das ist klar), ggT(a,b)=1, b nicht Einheit ( und die beiden Aussagen verstehe ich nicht! ).
Der Rest des Beweises ist dann wieder logisch, wenn man denn einmal verstanden hat, warum der ggT=1 ist und b eine Einheit ist. Kann mir das bitte jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 So 11.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich habe wieder einmal einen Beweis, den ich nicht
> verstehe.
> Der Satz ist folgender: Sei (R,+,*) ein
> Integritätsbereich mit 1 [mm]\in[/mm] R. Dann existiert der
> Quotientenkörper [mm]K=\{\bruch{a}{b} | a,b \in R, b \not= 0 \}[/mm]
> von R. Existiert ein normiertes Polynom f(x) [mm]\in[/mm] R[x] mit
> einer Nullstelle [mm]\alpha \in[/mm] K \ R, so ist R kein ZPE-Ring.
> Beweis: Annahme: R ist ZPE-Ring. Dann besitzt jedes [mm]\alpha \in[/mm]
> K \ R die Form [mm]\alpha=\bruch{a}{b}[/mm] mit a,b [mm]\in[/mm] R, b [mm]\not=[/mm] 0
> (das ist klar), ggT(a,b)=1, b nicht Einheit ( und die
> beiden Aussagen verstehe ich nicht! ).
Hallo,
Wenn ein [mm] \alpha [/mm] die Form u/v hat und u und v den größten gemeinsamen Teiler d besitzen, dann kann man u/v mit d kürzen. Das Ergebnis ist dann irgendein Term a/b, der nicht weiter kürzbar ist (also ggt=1).
Gruß Abakus
> Der Rest des Beweises ist dann wieder logisch, wenn man
> denn einmal verstanden hat, warum der ggT=1 ist und b eine
> Einheit ist. Kann mir das bitte jemand erklären?
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Und warum darf b keine Einheit sein?
Das mit dem ggT ist jetzt klar, danke, aber die Einheit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Und warum darf b keine Einheit sein?
> Das mit dem ggT ist jetzt klar, danke, aber die Einheit?
Wenn $b$ eine Einheit (in $R$) ist, so ist $a [mm] b^{-1} \in [/mm] R$ und somit [mm] $\frac{a}{b} [/mm] = [mm] \frac{a b^{-1}}{1}$ [/mm] kein Element, welches in $K$ aber nicht in $R$ liegt.
LG Felix
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