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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:37 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \limes_{ n \to \infty } \integral_{0}^{ \infty} \bruch{n}{x} \sin( \bruch{n}{x} ) ( 1+x^2)^{-1} dx [/mm]
Rechnung begründen! |
Hallo!
Da wir bereits solche Integrale berechnet haben und immer entweder den Satz über die momotone Konvergenz oder den Satz über die dominierte Konvergenz benutzt haben, möchte ich dies hier auch versuchen.
Ich möchte hier den Satz über die dominierte Konvergenz verwenden.
Um diesen anwende zu können, muss ich als erstes ja die Voraussetzungen des Satzes nachweisen.
So:
1. [mm] f_n [/mm] muss integrabel sein.
Ich würde hier sagen, dass dies der Fall ist, aber genau begründen, wüsste ich nicht wie.
Bis jetzt haben wir immer über kompakte Intervalle integriuert und konnten somit von der Stetigkeit auf dem kompaklten Intervall auf die Lebesque- Integrierbarkeit schleißen.
Aber wie ist das hier?
Und wenn ich das richtig sehe, dann haben hier auch Einschränkungen an das x, und zwar es muss gelten, dass [mm] x \ne 0 [/mm]
2. Desweiteren muss gelten
[mm] | f_n(x) | \le | g(x) | [/mm], f.ü
Und schleißlich
3. g integrabel
zeigen.
Wenn diese 3 Voraussetzungen gezeigt sind, dann darf man
[mm] \lim_{ n \to \infty } \integral f_n = \integral \lim_{ n \to \infty } f_n [/mm]
Neben dem Problem, dass ich die Voraussetzung 2 nicht wirklich durch eine geeignete Abschätzung zeigen kann, kann ich mir auch noch nicht den Limes vorstellen für n gegen unendlich...
Hoffe jemand kann mir behilflich sein!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mi 06.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> [mm]\limes_{ n \to \infty } \integral_{0}^{ \infty} \bruch{n}{x} \sin( \bruch{n}{x} ) ( 1+x^2)^{-1} dx[/mm]
>
> Rechnung begründen!
> Hallo!
>
> Da wir bereits solche Integrale berechnet haben und immer
> entweder den Satz über die momotone Konvergenz oder den
> Satz über die dominierte Konvergenz benutzt haben, möchte
> ich dies hier auch versuchen.
>
> Ich möchte hier den Satz über die dominierte Konvergenz
> verwenden.
> Um diesen anwende zu können, muss ich als erstes ja die
> Voraussetzungen des Satzes nachweisen.
> So:
>
> 1. [mm]f_n[/mm] muss integrabel sein.
>
> Ich würde hier sagen, dass dies der Fall ist, aber genau
> begründen, wüsste ich nicht wie.
> Bis jetzt haben wir immer über kompakte Intervalle
> integriuert und konnten somit von der Stetigkeit auf dem
> kompaklten Intervall auf die Lebesque- Integrierbarkeit
> schleißen.
> Aber wie ist das hier?
> Und wenn ich das richtig sehe, dann haben hier auch
> Einschränkungen an das x, und zwar es muss gelten, dass [mm]x \ne 0[/mm]
Es reicht sogar, dass die [mm] $f_n$ [/mm] sind. Das ist hier der Fall, den die [mm] $f_n$ [/mm] sind fast überall stetig.
Wenn du eine integrable Funktion g findest mit [mm] $|f_n|\le|g|$ [/mm] fast überall, so muss auch [mm] $f_n$ [/mm] integrabel sein, da aus [mm] $|f_n|\le|g|$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\integral|f_n| \le \integral [/mm] |g| $ folgt.
> 2. Desweiteren muss gelten
> [mm]| f_n(x) | \le | g(x) | [/mm], f.ü
>
> Und schleißlich
> 3. g integrabel
>
> zeigen.
>
> Wenn diese 3 Voraussetzungen gezeigt sind, dann darf man
>
> [mm]\lim_{ n \to \infty } \integral f_n = \integral \lim_{ n \to \infty } f_n[/mm]
>
> Neben dem Problem, dass ich die Voraussetzung 2 nicht
> wirklich durch eine geeignete Abschätzung zeigen kann,
Das ist in der Tat ein Problem.
Zwei Ideen:
1. Substituiere $x=n*y$, dann zerlege das Integral in zwei Teile, von 0 bis 1 und von 1 bis [mm] $\infty$ [/mm] und versuche es für beide Teile getrennt.
2. Die Funktion [mm] $\bruch{\sin x}{x}$ [/mm] ist über das Intervall [mm] $[0,\infty]$ [/mm] integrierbar, vielleicht kannst du das benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe heute einige Tipps erhalten und mich dann an der Aufgabe nochmal versucht & denke sie gut bearbeitet zu haben...
Meine Idee die dominierte Konvergenz anzuwenden war sinnvoll, nur ich hatte Probleme die Voraussetzungen für den Satz zu zeigen.
So:
Die Funktionenfolge ist integrabel!
Um die Beschränktheit der Funktionenfolge durch eine integrable Funktion zu zeigen, bin ich so vorgegangen:
Ich habe mir erstmal den folgenden Term genauer angeschaut, da nur dieser von n abhängt:
[mm] \bruch{n}{x} \sin ( \bruch{x}{n} ) = \bruch{ \sin ( \bruch{x}{n}) }{ \bruch{x}{n} } [/mm]
Aus früheren Vorlesungen sind zwei Tatsachen bekannt:
1. [mm] \lim_{ n \to 0 } \bruch{ \sin(n) }{n} = 1 [/mm]
2. [mm] \lim_{ n \to \infty } \bruch{ \sin(n) }{n} = 0 [/mm]
Es ist auch [mm] \bruch{ \sin(n) }{n} [/mm] stetig auf [mm] ( 0, \infty ) [/mm].
ALSO:
[mm] \bruch{ \sin(n) }{n} [/mm] ist beschränkt auf [mm] ( 0, \infty ) [/mm] und
[mm] | \bruch{ \sin ( \bruch{x}{n}) }{ \bruch{x}{n} } \cdot \bruch{1}{ 1 + x^2 } | \le C \cdot \bruch{1}{ 1 + x^2 } [/mm] und
[mm] \integral_0^{ \infty} \bruch{1}{ 1 + x^2 } dx = \left[ \arctan (x) \right]_0^{ \infty } = \bruch{ \pi }{2} [/mm]
Somit können wir nun den Satz über die dominierte KOnvergenz anwenden und es folgt:
[mm] \integral_0^{ \infty } \lim_{ n \to \infty } \bruch{ \sin ( \bruch{x}{n}) }{ \bruch{x}{n} } \cdot \bruch{1}{ 1 + x^2 } dx [/mm]
[mm] = \integral_0^{ \infty} \bruch{1}{ 1 + x^2 } dx = \left[ \arctan (x) \right]_0^{ \infty } = \bruch{ \pi }{2} [/mm]
Fertig!
O.k?
Viele Grüße
Irmchen
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Hi Irmchen!
Das ist exakt die Lösung die wir heute in der Übung für die Aufgabe bekommen haben! Gute Arbeit :)
Schöne Grüße
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Super, dann habe ich diese doch richtig zuende bearbeiten.... Es gibt Hoffnung für die Klausur  .
Viele Grüße
Irmchen
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