Integrieren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Sa 18.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Beim freien Fall im lufterfüllten Raum gilt für die Beschleunigung
[mm] a=\bruch{dv}{dt}=g*(1-k*v^{2})
[/mm]
wobei k von der Form des fallenden Körpers, der Dichte der Luft und der Querschnittsfläche des Körpers abhängt. g ist die Erdbeschleunigung. |
Hallo,
ich habe hier beim Integrieren Schwierigkeiten.
Das hab ich bisher gemacht:
[mm] \bruch{dv}{dt}=g(1-kv^{2})
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{dt}=\bruch{1}{g}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(1-kv^{2})}dx}
[/mm]
Danach weiß ich nicht so recht weiter. Ich komm jedenfalls nicht auf die Musterlösung.
Musterlösung: [mm] v_{(t)}=\bruch{C*e^{2*g*t*\wurzel{k}}-1}{\wurzel{k}*(1+C*e^{2*g*t*\wurzel{k}})}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Hier ein Hinweis zur Stammfunktion. Diese lautet für [mm] $\bruch{1}{1-a*x^2}$ [/mm] :
[mm] $\integral{\bruch{1}{1-a*x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}*ar\tanh\left(x*\wurzel{a} \ \right)$
[/mm]
Dabei gilt: [mm] $ar\tanh(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(\bruch{1+z}{1-z}\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Und von $ [mm] ar\tanh(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\ln\left(\bruch{1+z}{1-z}\right) [/mm] $ zur gewünschten Funktion $z \ =\ v(t) \ = \ ...$ kommst Du, wenn Du hier umstellst nach $z \ = \ ...$ bzw. die folgende Definition für [mm] $\tanh(x)$ [/mm] als Umkehrfunktion des [mm] $ar\tanh(x)$ [/mm] verwendest:
[mm] $\tanh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 18.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Hallo,
vielen Dank erstmal. Ich hab jetzt versucht das mit hilfe deines Tips zu integrieren, ich mache aber noch irgendwas falsch.
Jetzt mal ganz langsam:
[mm] \bruch{1}{1-a*x^{2}}
[/mm]
hab jetzt im Nenner [mm] \bruch{1}{a} [/mm] ausgeklammert:
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a}*(a-x^{2})}=a*\bruch{1}{(\wurzel{a})^{2}-x^{2}}
[/mm]
Dann hab ich das a vor das Integral gezogen:
[mm] a*\integral_{}^{}{\bruch{1}{(\wurzel{a})^{2}-x^{2}} dx}
[/mm]
das integral ergibt nach Formelsammlung:
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{a}}*ln(\bruch{\wurzel{a}+x}{\wurzel{a}-x})
[/mm]
Mir ist jetzt nicht ganz klar wo das a abgeblieben ist, dass ich vorher vor das Integral gezogen hab. Meiner Meinung nach müsste es
[mm] a*\bruch{1}{2\wurzel{a}}*ln(\bruch{\wurzel{a}+x}{\wurzel{a}-x})
[/mm]
heißen.
Wahrscheinlich hab ich unrecht;), aber warum?? Schonmal danke für die Hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Deine genannte Stammfunktion aus der Formelsammlung bezieht sich höchstwahrscheinlioch auf das Integral [mm] $\integral{\bruch{1}{a-x^2} \ dx}$ [/mm] .
Von daher musst Du Dein Ergebnis auch wirklich noch mit $a_$ multiplizieren ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Das Integral [mm] $\integral{\bruch{1}{1-k*v^2} \ dv}$ [/mm] lässt sich auch einfacher lösen mittels  Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{1-k*v^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1^2-\left(\wurzel{k}*v\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(1+\wurzel{k}*v\right)*\left(1-\wurzel{k}*v\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{1+\wurzel{k}*v}+\bruch{B}{1-\wurzel{k}*v}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Sa 18.08.2007 | | Autor: | polyurie |
OK, danke erstmal. Ich werd mich nochmal an der Aufgabe versuchen.
|
|
|
|
