Integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 27.05.2007 | | Autor: | Haase |
| Aufgabe | Integrieren Sie:
a) Integral( x*ln(x) dx)
b) Integral( [mm] e^x [/mm] * sin(x) dx) |
Hallo Alle miteinander!
Helft mir mal bitte beim Integrieren. Als Erstes weiss ich immer nicht wie ich vorgehen soll:
Entweder Partielle Integration oder Substitution.
Ich bin bis jetzt so vorgegangen:
Wenn ich das Integral so umformen kann, das ich die Partielle Integrationsregel anwenden kann, dann nehme ich diese, wenn das nicht geht dann nehme ich die Substitutionsregel.
Das hat auch bei einigen Aufgaben geklappt bis auf die Oben gennanten zwei.
a) Integral( x*ln(x) dx) sollte rauskommen: [mm] 1/4*x^2*(2*ln(x)-1)
[/mm]
Mein Rechenweg:
Partielle Integrationsregel kann ich nicht anwenden, da ich später dann nicht die Stammfunktion von ln(g) habe. g=x
Deshalb nehme ich die Substitutionsregel:
g(x) = x ; f'(x) = ln(x)
Integral(f'(x)*g(x) dx = f(x) * g(x) - Integral(g'(x)*f(x) dx
= 1/x * x - Integral(1*1/x dx
= 1 - Integral(1/x) dx
= 1 - ln|x| + C
b) Integral( [mm] e^x [/mm] * sin(x) dx) sollte rauskommen: [mm] 1/2*e^x [/mm] *(sin(x)-cos(x))
Substitutionsregel nehme ich, da ich das [mm] e^x [/mm] rausnehmen kann und dann klappt die Bedingung => [mm] e^x [/mm] * Integral(1*sin(x) dx
Rechnung:
Integral(g'(x)*f(g(x)) dx = [mm] e^x [/mm] * Integral(g'(x) * sin(g(x)) dx
= [mm] e^x [/mm] * Integral(g) dg mit g = x
= [mm] e^x [/mm] * -cos(g)+C
= [mm] -e^x [/mm] *cos(x) + C
Vielen Dank im Vorraus.
Gruß Haase
|
|
| |
|
Hallo Carsten,
zunächst mal würde es das Lesen wahrlich erleichtern, wenn du den Formeleditor benutzt - ist nicht allzu schwierig 
>
> a) Integral( x*ln(x) dx) sollte rauskommen:
> [mm]1/4*x^2*(2*ln(x)-1)[/mm]
> Mein Rechenweg:
> Partielle Integrationsregel kann ich nicht anwenden, da
> ich später dann nicht die Stammfunktion von ln(g) habe.
> g=x
> Deshalb nehme ich die Substitutionsregel: ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> g(x) = x ; f'(x) = ln(x)
Das ist doch genau der Ansatz der partiellen Integration, der hier auch völlig richtig ist!!
> Integral(f'(x)*g(x) dx = f(x) * g(x) - Integral(g'(x)*f(x)
> dx
> = 1/x * x - Integral(1*1/x dx [mm] \red{Hier steckt der Fehler, eine Stammfunktion von ln(x) ist xln(x)-x} [/mm]
> = 1 - Integral(1/x) dx
> = 1 - ln|x| + C
V ersuche hier nochmal die p.I mit der Stammfunktion xln(x)-x für ln(x), dann solltest du kommen auf: [mm] \int{xln(x)dx}=x(xln(x)-x)-\int{(xln(x)-x)dx}
[/mm]
Da kannste das hintere Integal auseinanderziehen und dann [mm] \int{xln(x)dx} [/mm] auf die andere Seite der Gleichung bringen.
> b) Integral( [mm]e^x[/mm] * sin(x) dx) sollte rauskommen: [mm]1/2*e^x[/mm]
> *(sin(x)-cos(x))
> Substitutionsregel nehme ich, da ich das [mm]e^x[/mm] rausnehmen
> kann ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das kannst du nicht, in [mm] e^x [/mm] steckt doch die Integralitonsvariable x noch drin.
Hier musst du zweimal partiell integrieren. Setze dazu [mm] f(x):=e^x, [/mm] g'(x):=sin(x).
Dann hast du vom Prinzip her eine Gleichung wie in (a), in der auf beiden Seiten das [mm] \int{e^xsin(x)dx} [/mm] vorkommt. Nach dem Integral umstellen und dann haste es
und dann klappt die Bedingung => [mm]e^x[/mm] *
> Integral(1*sin(x) dx
>
> Rechnung:
> Integral(g'(x)*f(g(x)) dx = [mm]e^x[/mm] * Integral(g'(x) *
> sin(g(x)) dx
> = [mm]e^x[/mm] * Integral(g) dg mit g = x
> = [mm]e^x[/mm] * -cos(g)+C
> = [mm]-e^x[/mm] *cos(x) + C
>
> Vielen Dank im Vorraus.
> Gruß Haase
>
Gruß zurück
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 27.05.2007 | | Autor: | Haase |
Danke für deinen Ansatz.
Ich bin gerade bei a) und komme nicht mehr weiter bei:
= [mm] x^2*ln(x)-x^2 [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{x*ln(x)-x dx}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 27.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haase!
Formen wir einfach mal um bzw. ziehen das hinterer Integral auseinander:
[mm] $\red{\integral{x*\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^2*\ln(x)-x^2 -\integral{x*\ln(x)-x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*\ln(x)-x^2 -\red{\integral{x*\ln(x) \ dx}} +\integral{x \ dx}$
[/mm]
Und nun nach [mm] $\red{\integral{x*\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 27.05.2007 | | Autor: | Haase |
Ich glaub ich bin zu Blöd dafür 
[mm] \integral_{}^{}{x*ln(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{x*ln(x)-x dx}
[/mm]
Jetzt hackt es aber wie vorhin...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 27.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haase!
Aus $ [mm] \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\ln(x)-x^2 -\red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} +\integral{x \ dx} [/mm] $ erhalten wir doch:
$ [mm] \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\ln(x)-x^2 -\red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} +\bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
$ [mm] \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\ln(x)-\bruch{1}{2}x^2 -\red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}}$ $\left| \ + \ \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}}$
$ \red{2}*\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx} \ = \ x^2\cdot{}\ln(x)-\bruch{1}{2}x^2$
Und nun durch $2_$ teilen ...
Gruß
Loddar
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 So 27.05.2007 | | Autor: | Haase |
Vielen Dank euch beiden. Jetzt habe ich es geschnallt. Danke!
|
|
|
|
