Integrierbarkeit von sin(f(x)) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] sei stetig. Zeigen Sie die Integrierbarkeit der Funktion [mm] $g:[a,b]\to\IR,g(x)=\sin(f(x))$ [/mm] und:
[mm] $$\integral_{a}^{b}{\sin(f(x))\,\mathrm{d}x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\integral_{a}^{b}{(f(x))^{2n+1}\,\mathrm{d}x}$$ [/mm] |
Hallo,
Ist es richtig, dass [mm] $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$$ [/mm] einfach wegen der Linearität ins Integral gezogen werden darf? Dann wäre ich ja fertig!
Dankesehr, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 30.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktion [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] sei stetig. Zeigen Sie die
> Integrierbarkeit der Funktion [mm]g:[a,b]\to\IR,g(x)=\sin(f(x))[/mm]
> und:
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> [mm]\integral_{a}^{b}{\sin(f(x))\,\mathrm{d}x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\integral_{a}^{b}{(f(x))^{2n+1}\,\mathrm{d}x}[/mm]
> Hallo,
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> Ist es richtig, dass
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}[/mm] einfach wegen der
> Linearität ins Integral gezogen werden darf? Dann wäre
> ich ja fertig!
>
> Dankesehr, Stefan.
jein, denn Du darfst dieses Vertauschen von Summation und Integration (bei unendlichen Summen bzw. Reihen) i.a. nicht ohne weiteres einfach tun. Hier kannst Du Dir aber überlegen, warum Du das tun darfst. Ich denke, dass Dir dabei helfen werden:
1.) ![[]](/images/popup.gif) Satz 17.20
2.) Satz 11.19Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
. (Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind glm. stetig, also: Dein $f\,$ ist glm. stetig, und nun überlege Dir, ob dann
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}{f^{2n+1}(x)$$
(d.h. die Folge $\left(\sum_{n=0}^{k}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}{f^{2n+1}(x)\right)_{k \in \IN_0}$) glm. konvergiert. )
Ich denke, dass Du 2.) wegen der glm. Stetigkeit von $f\,$ mithilfe des Wissens, dass
$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}{x^{2n+1}$$
glm. konvergiert, begründen kannst.
(Kurz:
Ist $(g_n)_n$ eine Funktionenfolge, die glm. gegen $g\,$ konvergiert (evtl. Zusatz: und ist $f\,$ glm. stetig?), so konvergiert auch $(g_n \circ f)_n$ glm. gegen $g \circ f\,.$
Du solltest versuchen, diesen Satz zu beweisen. Danach darfst Du das so machen, wie Du es getan hast!)
Edit:
Wie ich mir gerade überlegt habe, brauchst Du wohl i.w. nur die glm. Konvergenz von $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$, um die glm. Kgz. von $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}f^{2n+1}(x)$ einzusehen. Dass $f\,$ stetig ist wird hier vielleicht nur bei der Existenzbegründung von $\int_a^b f^{2n+1}\,$ benutzt, damit die Anwendung von Satz 17.20 auch Sinn macht.
Beste Grüße,
Marcel
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