Integrierbarkeit + Integral < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 09.02.2005 | | Autor: | ALT-F4 |
moinsen
ich soll zeigen dass folgende Funktion Riemann integrierbar ist [mm] f(x)=x[\frac{1}{x}] [/mm] (das sind Gauss bzw. "Größtes Ganzes"-Klammern) und [mm] \int_{0}^{1}~f(x)~dx [/mm] bestimmen.
Ich habe schon das Riemansche Integrabilitätskriterium probiert, mit keinem Ergebnis. Leider ist f(x) auch nicht monoton oder stetig.
Hat f(x) vielleicht endlich viele Unstetigkeitsstellen? Das würde mir auch schon helfen...
Bin für jeden Tipp dankbar
mfg.
(@ http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=13121&sid=)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mi 09.02.2005 | | Autor: | ALT-F4 |
ups, "falsches" forum
gehört in uni -> analysis
bitte verschieben
DANKE!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 09.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
zur integrierbarkeit kann ich dir folgenden tipp geben:
die funktion ist nur in denen stellen unstetig, in denen [m] \left[ \frac{1}{x} \right] [/m] unstetig ist und das sind genau die punkte der form [m] x = \frac{1}{n}, \quad n = 2, 3, 4, \hdots [/m] somit abzählbar viele also eine lebesgue-nullmenge. da die funktion auch noch beschränkt ist, ist sie somit riemann-integrierbar (ich hoffe ihr hattet solch einen satz).
bei dem wert des integrals muss man sich noch etwas überlegen. ich hänge mal den graph der funktion hier an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 09.02.2005 | | Autor: | ALT-F4 |
supi vielen dank
ja, wenn ich beweisen kann, dass es nur endlich viele Unstetigkeitsstellen gibt, kann ich beweisen, dass f(x) riemann integrierbar ist...
nur wie komm ich "mathematisch korrekt" zu dieser Erkenntnis? Mit dem delta-epislon kriterium bestimmt nicht...
und noch ne kleine frage hab ich: mit welchem programm hast du das jpg erstellt, meine programme sind alle am ploten verzweifelt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 09.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
das die funktion nur endlich viele unstetigkeitsstellen hat kannst du bestimmt nicht zeigen, denn sie hat unendlich viele, wie ich in der letzten antwort schon geschrieben habe: abzählbar unendlich viele! diese kannst du wie ich dort explizit angeben und dann argumentieren, dass [m] \left[ \frac{1}{x} \right] [/m] in allen anderen punkten stetig ist und somit [m]x \left[ \frac{1}{x} \right] [/m] als produkt stetiger funktionen dort auch steitig ist. das hilft dir aber natürlich nur, wenn ihr den von mir oben angesprochenen satz schon bewiesen hatte oder du gewillt bist ihn jetzt zu beweisen.
die grafik ist übrigens von maple erstellet worden.
grüße
andrea
|
|
|
|
