Integrierbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x)=1_{\mathbb{Q}}\in \mathcal L^1(\mu) [/mm] und f messbar. |
Ja, so steht's im Skript. Erstmal würde ich korrigieren: [mm] f(x)=1_{\mathbb{Q}} [/mm] in [mm] f=1_{\mathbb{Q}}
[/mm]
so,
die Messbarkeit ist klar. Aber bei der [mm] \mu [/mm] Integrierbarkeit von [mm] \vert f\vert [/mm] stehe ich gerade auf dem Schlauch.
[mm] \mathbb{Q} [/mm] ist ja nicht endlich. Dass bedeutet für mich, dass es unendlich viele [mm] x\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} [/mm] gibt, mit [mm] 1_{\mathbb{Q}}(x)=1.
[/mm]
D.h., das integral ist (Länge mal Breite) [mm] 1\cdot \infty [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Deshalb ist ja [mm] \int \vert f\vert^+\mu [/mm] = [mm] \int (1_{\mathbb{Q}})^+\mu [/mm] = [mm] \int 1_{\mathbb{Q}}^+\mu=\infty [/mm] also nicht [mm] \mu [/mm] integrierbar.
Oder was ist mein Problem? Grüße,
tk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=1_{\mathbb{Q}}\in \mathcal L^1(\mu)[/mm] und f messbar.
> Ja, so steht's im Skript. Erstmal würde ich korrigieren:
> [mm]f(x)=1_{\mathbb{Q}}[/mm] in [mm]f=1_{\mathbb{Q}}[/mm]
>
> so,
>
> die Messbarkeit ist klar. Aber bei der [mm]\mu[/mm] Integrierbarkeit
> von [mm]\vert f\vert[/mm] stehe ich gerade auf dem Schlauch.
>
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist ja nicht endlich. Dass bedeutet für mich,
> dass es unendlich viele [mm]x\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}[/mm]
> gibt, mit [mm]1_{\mathbb{Q}}(x)=1.[/mm]
>
> D.h., das integral ist (Länge mal Breite) [mm]1\cdot \infty[/mm] =
> [mm]\infty[/mm]
Nein. Für eine messbare Menge A ist [mm] \int 1_{A}\mu= \mu(A)
[/mm]
FRED
>
> Deshalb ist ja [mm]\int \vert f\vert^+\mu[/mm] = [mm]\int (1_{\mathbb{Q}})^+\mu[/mm]
> = [mm]\int 1_{\mathbb{Q}}^+\mu=\infty[/mm] also nicht [mm]\mu[/mm]
> integrierbar.
>
> Oder was ist mein Problem? Grüße,
>
> tk
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Okay, vielen Dank für diese ausführliche Erklärung. Aber es ist doch trotzdem [mm] \mu(\mathbb{Q}) [/mm] = [mm] \infty [/mm] oder nicht?
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Hallo tkgraceful,
> Okay, vielen Dank für diese ausführliche Erklärung. Aber
> es ist doch trotzdem [mm]\mu(\mathbb{Q})[/mm] = [mm]\infty[/mm] oder nicht?
Naja, wenn [mm] $\mu$ [/mm] das Lebesguemaß ist, so ist [mm] $\IQ$ [/mm] eine Nullmenge, also [mm] $\mu(\IQ)=0$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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Ja wie auch immer. Der Punkt ist der. Treppenfunktionen sind immer integrierbar. Gut, für einen Maßraum [mm] (X,\mathcal A,\mu) [/mm] ist dann doch
[mm] s:=1_X [/mm] eine Treppenfunktion, oder nicht?
X kann ja durchaus eine unendliche Menge sein mit [mm] \mu(X)=\infty. [/mm] Das kann ja alles sein. Nur dann ist doch [mm] \int s\mu [/mm] nicht endlich und also nicht [mm] \mu [/mm] integrier bar. Wo mache ich den Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht verrätst Du mal, was in [mm] \mathcal L^1(\mu) [/mm] für ein Mass [mm] \mu [/mm] zugrundeliegt.
FRED
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Na eben ein Maß, das so gewählt ist, dass [mm] \mu(X)=\infty [/mm] ist. Wobei X eine unendliche Menge ist.
Es heißt ja (soweit mein Skript), dass Treppenfunktionen immer [mm] \mu [/mm] -integrierbar sind und zum anderen heißt eine Funktion f [mm] \mu [/mm] -integrierbar, falls [mm] \int f^+\mu [/mm] und [mm] \int f^-\mu [/mm] endlich sind.
z.B.
$s = [mm] \sum_{y\in s(X)}y\cdot [/mm] 1(s=y)$ mit dem Integral
$ [mm] \int s\mu [/mm] = [mm] \sum_{y\in s(X)}y\cdot \mu(s=y) [/mm] $
Wenn es unendlich viele Elemente in s(X) gibt, kann die Summer auch unendlich sein.
Dann ist aber [mm] \int s^+\mu [/mm] oder [mm] \int s^-\mu [/mm] nicht endlich. Also nicht integrierbar trotz Treppenfunktion. Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Na eben ein Maß, das so gewählt ist, dass [mm]\mu(X)=\infty[/mm]
> ist. Wobei X eine unendliche Menge ist.
Oben ist doch von [mm] \IQ [/mm] die Rede, daher glaube ich, dass X= [mm] \IR [/mm] ist.
Kann es sein, dass Ihr in diesem Fall vereinbart habt, dass [mm] \mu [/mm] immer das Lebesguemaß sein soll, falls nichts anderes gesagt wird ?
Wenn ja, so ist [mm] \mu(\IQ)=0 [/mm] und damit ist auch das fragliche Integral = 0.
FRED
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> Es heißt ja (soweit mein Skript), dass Treppenfunktionen
> immer [mm]\mu[/mm] -integrierbar sind und zum anderen heißt eine
> Funktion f [mm]\mu[/mm] -integrierbar, falls [mm]\int f^+\mu[/mm] und [mm]\int f^-\mu[/mm]
> endlich sind.
>
> z.B.
>
> [mm]s = \sum_{y\in s(X)}y\cdot 1(s=y)[/mm] mit dem Integral
>
> [mm]\int s\mu = \sum_{y\in s(X)}y\cdot \mu(s=y)[/mm]
>
> Wenn es unendlich viele Elemente in s(X) gibt, kann die
> Summer auch unendlich sein.
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> Dann ist aber [mm]\int s^+\mu[/mm] oder [mm]\int s^-\mu[/mm] nicht endlich.
> Also nicht integrierbar trotz Treppenfunktion. Was mache
> ich falsch?
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Mein Gott. Das ist eine allgemeine Frage. Manche Studenten, ob man's glaubt oder nicht, denken doch tatsächlich noch selbst.
Und es geht nicht um [mm] \mathbb{R}, [/mm] oder [mm] \mathbb{Q}, [/mm] das sind nur Beispiele.
Auch nicht konkret ums Lebesgue Maß, sondern um eine allg. Schwierigkeit die ich mit dem Stoff habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mein Gott. Das ist eine allgemeine Frage. Manche Studenten,
> ob man's glaubt oder nicht, denken doch tatsächlich noch
> selbst.
So, nun werd mal nicht pampig, Du Rotzlöffel.
Ich rate Dir , dass Du Dir Deine ursprüngliche Frage nochmal anschaust, dann wirst Du feststellen, dass es ganz konkret um [mm] \IQ [/mm] und die char. Funktion von [mm] \IQ [/mm] geht.
FRED
>
> Und es geht nicht um [mm]\mathbb{R},[/mm] oder [mm]\mathbb{Q},[/mm] das sind
> nur Beispiele.
> Auch nicht konkret ums Lebesgue Maß, sondern um eine
> allg. Schwierigkeit die ich mit dem Stoff habe.
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Oje,
okay, [mm] 1_{\mathbb{Q}} [/mm] ist integrierbar, da mit dem Lebesgue-Maß gilt [mm] \int 1_{\mathbb{Q}}\mu=0, [/mm] da [mm] \mathbb{Q} [/mm] eine [mm] \mu [/mm] -Nullmenge ist. Okay.
Und jetzt öffnen wir mal unseren Geist, blenden [mm] \mathbb{Q}, \mathbb{R} [/mm] und das Lebesgue-Maß aus und sehen uns meinen letzt Beitrag an. Wo mache ich da den Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Oje,
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> okay, [mm]1_{\mathbb{Q}}[/mm] ist integrierbar, da mit dem
> Lebesgue-Maß gilt [mm]\int 1_{\mathbb{Q}}\mu=0,[/mm] da [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> eine [mm]\mu[/mm] -Nullmenge ist. Okay.
>
> Und jetzt öffnen wir mal unseren Geist,
Jawoll, ohne Dich würde ich ja ewig blöd bleiben.
> blenden
> [mm]\mathbb{Q}, \mathbb{R}[/mm] und das Lebesgue-Maß aus und sehen
> uns meinen letzt Beitrag an. Wo mache ich da den
> Denkfehler?
Du machst keine Denkfehler. Wenn in Deinem Skript steht, dass Treppenfunktionen immer $ [mm] \mu [/mm] $ -integrierbar sind , so stimmt das nicht.
Beispiel: [mm] X=\IR [/mm] mit Lebesquemaß [mm] \mu.
[/mm]
[mm] f:=1_X [/mm] ist eine messbare Treppenfunktion mit Integral = [mm] \infty.
[/mm]
Fürs nächste mal: nicht ganz so großkotzig auftreten und etwas mehr Respekt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 18.06.2012 | | Autor: | tkgraceful |
Alles klar. Dann danke ich dir. Sorry, bin wohl grad etwas mit den Nerven runter.
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