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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass $t [mm] \mapsto [/mm] ln(t) / [mm] (t^2-1)$ [/mm] in [mm] $L^1(\mathbb [/mm] R^+)$ ist. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll also zeigen, dass die Funktion Lebesgue-integrierbar ist, aber ich finde keine passende Majorante dafür. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass [mm]t \mapsto ln(t) / (t^2-1)[/mm] in [mm]L^1(\mathbb R^+)[/mm]
> ist.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich soll also zeigen, dass die Funktion
> Lebesgue-integrierbar ist, aber ich finde keine passende
> Majorante dafür. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
durch Zerlegung [mm] $\int_{(0,\infty)}=\int_{(0,1)}+\int_{(1,\infty)}$ [/mm] (beachte: [mm] $\{1\}$ [/mm] ist als abzählbare Menge insbesondere eine Lebesguesche Nullmenge) und weil
[mm] $$I_2:=\int_{(1,\infty)} \frac{\ln(t)}{t^2-1}\;dt \underset{\blue{(1)}}{\le} 2*\int_{(1,\infty)}\frac{\sqrt{t}-1}{t^2-1}\;dt \underset{\blue{(2)}}{\le} 2*\underbrace{\int_{(1,\infty)}\frac{\sqrt{t-1}}{t^2-1}\;dt}_{=:J}$$
[/mm]
[mm] (@$\blue{(1)}$: [/mm] vgl. ![[]](/images/popup.gif) Satz 5.16,
[mm] @$\blue{(2)}$: $\sqrt{y}-1 \le \sqrt{y-1}$ [/mm] für $y > [mm] 1\,$),
[/mm]
und weil Du nun nachrechnen (oder auf anderem Wege begründen) kannst, dass $J < [mm] \infty$ [/mm] existiert, reicht es, die Existenz von
[mm] $$\int_{(0,1)} \frac{\ln(t)}{t^2-1}\;dt=:I_1$$
[/mm]
nachzuweisen.
Mit der Substitution $x=x(t):=1/t$ folgt wegen [mm] $dx=-1/t^2\;dt$ [/mm] somit
[mm] $$I_1=-\int_{(1,\infty)}\frac{\ln(1/x)}{\frac{1}{x^2}\;-1}\;(-t^2\;dx)=\int_{(1,\infty)}\frac{\ln(1/x)}{1-x^2}\;dx=\int_{(1,\infty)}\frac{-\ln(1/x)}{x^2-1}\;dx=\int_{(1,\infty)}\frac{\ln(x)}{x^2-1}\;dx\,.$$
[/mm]
Damit bist Du wegen der bereits begründeten Existenz von [mm] $I_2 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] auch schon fertig.
Beste Grüße,
Marcel
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