Integrierbare Zufallsvariable < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 So 07.11.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass auf einem W.-raum [mm] (\Omega, \mathcal{A} \IP) [/mm] gilt:
(a) Eine Zufallsvariable [mm] X:\Omega \to \IR [/mm] ist genau dann integrierbar, wenn
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n})<\infty [/mm] gilt.
(b) Gilt [mm] \IP(X\in\IN_0)=1 [/mm] so erhält man für integrierbares X
[mm] E[X]=\summe_{i=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n}). [/mm] |
Hallo!!
sitze gerade bei der Aufgabe, sie scheint mir ziemlich einfach zu sein aber ich kann sie nicht lösen :(((
a) [mm] "\Rightarrow" [/mm] X ist integrierbar, d. h. X ist messbar und [mm] \int_{\Omega} Xd\IP <\infty. [/mm] Dann kann man noch schreiben
[mm] \int_{\Omega} Xd\IP=\int_{\Omega}X^+d\IP -\int_{\Omega}X^-d\IP. [/mm] An der Stelle komme ich nicht weiter....
Hilfe!!!
ich freue mich sehr auf eure Antwort!!!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 So 07.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
integrierbar heißt [mm] $\int_\Omega [/mm] |X|\ [mm] dP<\infty$, [/mm] mit $|X|$ als Integrand, nicht $X$.
Wenn Du jetzt noch bedenkst, daß
[mm] $$\sum_n P(|X|\geq n)=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega \sum_{n=1}^m\textbf{1}_{\{|X|\geq n\}} [/mm] dP [mm] \leq\ldots$$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mo 08.11.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Stefan!!
Ich bedanke mich ganz herzlich bei Ihnen!!
> integrierbar heißt [mm]\int_\Omega |X|\ dP<\infty[/mm], mit [mm]|X|[/mm] als
> Integrand, nicht [mm]X[/mm].
>
>
> Wenn Du jetzt noch bedenkst, daß
> [mm]\sum_n P(|X|\geq n)=\lim_{m\to\infty}\int_\Omega \sum_{n=1}^m\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}dP \leq\ldots[/mm]
Ich weiß nicht was da weter kommt, ich habe alles durchgeguckt,
und nichts gefunden womit ich diese Ungleichung fortsetzen kann.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Als ob ich ein Brett vor dem Kopf hätte!!
Könnten Sie mir noch mit einem kleinen Tipp auf die Sprünge helfen?
Tausend Dank!!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $\sum_{n=1}^\infty\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}\leq\ldots$
[/mm]
Wie sieht denn die Summe aus? Wieviele Indikatorfunktionen sind denn 1?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 08.11.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo!!
Vielen-vielen Dank für deine Hilfe!!
> [mm]\sum_{n=1}^\infty\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}\leq\ldots[/mm]
>
> Wie sieht denn die Summe aus? Wieviele Indikatorfunktionen
> sind denn 1?
[mm] \{|X|\ge n\} [/mm] kann man schreiben als [mm] [n,\infty), [/mm] d.h [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\textbf{1}_{[n,\infty)} [/mm] und es müsste eigntlich dann endlich viele Indikatorfunktionen sein, die 1 annehmen, und zwar nur eine.
Denn wenn [mm] x\in [n,\infty) [/mm] für ein [mm] n\in\IN, [/mm] dann ist [mm] \textbf{1}_{[n,\infty)}(x)=1, [/mm] sonst 0
Ist das richtig? oder bin ich wieder daneben gelandet?
Riesen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
es gibt kein $x$. Jedenfalls nicht so, wie ich denke, daß Du das meinst
[mm] $\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}=\textbf{1}_{\{|X(\omega)|\ge{n}\}}(\omega)$
[/mm]
Die Indikatorfunktion ist eine Zufallsvariable, und zwar eine, die 1 ist, wenn [mm] $n\leq [/mm] |X|$ und 0, wenn $n>|X|$.
[mm] $\sum_{n=1}^\infty\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}$
[/mm]
wieviele der Indikatorfunktionen sind denn 1? Na das hängt von $|X|$ ab. Ist $|X|=1$ dann ist die Summe?
Und was ist sie, wenn $|X|=5$? $|X|=2.4$?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 08.11.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo!!
Danke für deine schnelle antwort!!
> es gibt kein [mm]x[/mm]. Jedenfalls nicht so, wie ich denke, daß Du
> das meinst
>
>
> [mm]\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}=\textbf{1}_{\{|X(\omega)|\ge{n}\}}(\omega)[/mm]
>
> Die Indikatorfunktion ist eine Zufallsvariable, und zwar
> eine, die 1 ist, wenn [mm]n\leq |X|[/mm] und 0, wenn [mm]n>|X|[/mm].
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}[/mm]
>
> wieviele der Indikatorfunktionen sind denn 1? Na das hängt
> von [mm]|X|[/mm] ab. Ist [mm]|X|=1[/mm] dann ist die Summe?
Dann sollte die Summe=1 sein, denn |X| liegt dann im ersten Intervall und nicht in den Intervallen für n>1.
> Und was ist sie, wenn [mm]|X|=5[/mm]? [mm]|X|=2.4[/mm]?
Wenn |X|=5 dann liegt sie in allen intervallen [mm] n\le [/mm] 5, also ist die Summe=5. |X|=2,4 dann ist die summe 2.
Also allgemein sollte dann gelten [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}\le [/mm] |X|
Ist das richtig so?
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
das ist völlig richtig.
Und wenn es für die unendliche Summe gilt, dann gilt es für die Partialsummen allemal und dementsprechend kannst Du das Integral abschätzen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Di 09.11.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo,Stefan!!
Ich habe hier noch zu der Teilaufgabe b) überlegt:
Ist es richtig wenn ich dass so beweise:
[mm] E[X]=\int_{\Omega}Xd\IP=\int_{\Omega}\summe_{n=1}^{\infty}\textbf{1}_{\{X\ge{n}\}}d\IP [/mm] (1) , weil X fast sicher in [mm] \IN_0 [/mm] liegt.
dann folgt [mm] (1)=\summe_{n=1}^{\infty}\IP(X\ge{n})
[/mm]
Und noch eine kleine Frage zu a):unsere Rechnung kann ich doch als beide-richtungen-beweis machen, denn ich verwende die ganze zeit gleichheitszeichen?
Noch mal rieiisen danke schön!!!
Sie haben mir wierklich geholfen!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Di 09.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
das stimmt so, aber beim Schritt
[mm] $\int_{\Omega}\summe_{n=1}^{\infty}\textbf{1}_{\{X\ge{n}\}}d\IP =\summe_{n=1}^{\infty}\IP(X\ge{n}) [/mm] $
solltest Du noch begründen, warum Du Summe und Grenzwert vertauschen darfst (Du kannst nur endliche Summen aus dem Integral ziehen, also muß zuerst der Limes gesondert aus dem Integral raus). Dafür war die (a) da.
Beim ersten hatten wir doch ständig Ungleichungen
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}\le [/mm] |X|$
Um die Rückrichtung zu zeigen, mußt Du hier das [mm] $\leq$ [/mm] umdrehen. Wieviel kleiner als $|X|$ ist denn die Summe?
Zeichne Dir [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\textbf{1}_{\{|X|\ge{n}\}}$ [/mm] mal in Abhängigkeit von $|X|$ auf.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 09.11.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo!!
ich habe mir das gezeichnet, der Graph sieht wie eine Treppe aus. Aber ich verstehe nicht ganz deine Frage:
> Um die Rückrichtung zu zeigen, mußt Du hier das [mm]\leq[/mm]
> umdrehen. Wieviel kleiner als [mm]|X|[/mm] ist denn die Summe?
Man kann die Treppe mit Gaußklammern vergleichen, wo man auf die nächste ganze Zahl abrunden muss.
Und wieviel kleiner weiß ich nicht... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 09.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
anders gefragt: Wie müßte denn eine Treppenfunktion aussehen, die immer größer ist als $|X|$.
Was Du willst ist die Rückrichtung zeigen. Dafür mußt Du das Integral
[mm] $\int_\Omega [/mm] |X|\ dP$
nach oben durch die Summe
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n})$ [/mm]
abschätzen. Nur haben wir in der Hinrichtung gerade gezeigt, daß die Summe kleiner ist. Die Frage ist jetzt, wie Du die Treppenfunktion ändern kannst, daß sie immer größer oder gleich |X| ist, ohne die Eigenschaft
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n})<\infty$ [/mm]
zu verlieren, denn Du willst ja zeigen, daß
[mm] $\int_\Omega [/mm] |X|\ [mm] dP<\infty$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 09.11.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Stefan!!
> anders gefragt: Wie müßte denn eine Treppenfunktion
> aussehen, die immer größer ist als [mm]|X|[/mm].
>
> Was Du willst ist die Rückrichtung zeigen. Dafür mußt Du
> das Integral
> [mm]\int_\Omega |X|\ dP[/mm]
> nach oben durch die Summe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n})[/mm]
> abschätzen. Nur haben wir in der Hinrichtung gerade
> gezeigt, daß die Summe kleiner ist. Die Frage ist jetzt,
> wie Du die Treppenfunktion ändern kannst, daß sie immer
> größer oder gleich |X| ist, ohne die Eigenschaft
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n})<\infty[/mm]
> zu verlieren, denn Du willst ja zeigen, daß
> [mm]\int_\Omega |X|\ dP<\infty[/mm]
Achso jetzt verstehe ich was du meinst.
Wenn ich will, dass die Summe größer wird muss ich das Intervall [mm] \{|X|\ge{n}\} [/mm] größer machen.
Das kann man entweder in so machen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\IP(|X|\ge{n}) [/mm] oder [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n-1}) [/mm] in difekt ist das das gleiche.
Ich fange dann bei 0 an, und wenn |X|=3,4
ist dann die Summe gleich 4 ich runde quasi auf.
Deswegen sollte gelten [mm] |X|\le\summe_{n=1}^{\infty}\IP(|X|\ge{n-1})
[/mm]
Und somit kann ich dann weiter abschätzen. Ist es richtig?
Vielen Dank!!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 09.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
sorry, wenn ich Dich verwirrt habe. =)
Ja das stimmt so.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Di 09.11.2010 | | Autor: | math101 |
Ach das macht nichts!!!
Du hast mir super geholfen!!
vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Di 09.11.2010 | | Autor: | laralara |
Hallo, ich wollte fragen wie genau denn nun dann deine antwort zu teilaufgabe a aussieht???
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