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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das folgende Integral unabhängig von der Integrationsreihenfolge [mm] ist:(\integral_{0}^{1}) (\integral_{a}^{b})(\integral_{0}^{\pi}) x^{2}*y*sin(z)dzdydx [/mm] |
Ich frage mich wie der bewiesene Satz dazu heißt, da ich nur den Satz von Fubini kenne für eine stetige Funktion im abgeschlossenen Rechteck.
Desweiteren frage ich mich wo sind die Einschränkungen - für welche Doppel- und Dreifachintegrale (bzw. n-fach Integrale) ist die Integrationsreihenfolge von belang?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Zeigen Sie, dass das folgende Integral unabhängig von der
> Integrationsreihenfolge [mm]ist:(\integral_{0}^{1}) (\integral_{a}^{b})(\integral_{0}^{\pi}) x^{2}*y*sin(z)dzdydx[/mm]
>
> Ich frage mich wie der bewiesene Satz dazu heißt, da ich
> nur den Satz von Fubini kenne für eine stetige Funktion im
> abgeschlossenen Rechteck.
Fubini ist genau das, was du brauchst. Dieser sagt: Hat man eine messbare Funktion auf einem Rechteck (oder eben Quader) und ist sie nichtnegativ oder integrierbar bezüglich des Produktmaßes, dann kommts nicht auf die Reihenfolge an. Das heißt, es reicht den Integranden grob abzuschätzen durch max(|a|,|b|) und das reicht dann schon, da es sich ja um einen endlichen Maßraum handelt. Das ganze Integral ist dann im Betrag durch (b-a) [mm] \pi [/mm] max(|a|, |b|) beschränkt.
In diesem einfachen Fall könnte man das aber sicherlich auch konkret nachrechnen, wenn du dir die Mühe machen willst.
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> Desweiteren frage ich mich wo sind die Einschränkungen -
> für welche Doppel- und Dreifachintegrale (bzw. n-fach
> Integrale) ist die Integrationsreihenfolge von belang?
>
>
Nunja, es gibt nun auch Maßräume, die sind nicht endlich oder Integranden, die alles andere als beschränkt sind, sodass es vorkommen kann, dass er nicht integrierbar bezüglich des Produktmaßes ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Erst mal vielen Dank für deine Mühe!
Ich hätte da aber noch ne Frage - warum lehren die meisten nicht rein mathematischen Bücher, (z.B. Papula u.s.w.) das bei Zweifach- oder Dreifachintegralen die Integrationsreihenfolge nach dem Schema: " von innen nach außen" beginnend mit dem innersten Differenzial folgt?
Würde ich nun dieses Integral mit uneigentlichen Integrationsintervallen o. uneigentlichen Integranden rechnen - gelte dann immer noch der Satz von Fubini?> Hallo!
> > Zeigen Sie, dass das folgende Integral unabhängig von
> der
> > Integrationsreihenfolge [mm]ist:(\integral_{0}^{1}) (\integral_{a}^{b})(\integral_{0}^{\pi}) x^{2}*y*sin(z)dzdydx[/mm]
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> > Ich frage mich wie der bewiesene Satz dazu heißt, da ich
> > nur den Satz von Fubini kenne für eine stetige Funktion im
> > abgeschlossenen Rechteck.
> Fubini ist genau das, was du brauchst. Dieser sagt: Hat
> man eine messbare Funktion auf einem Rechteck (oder eben
> Quader) und ist sie nichtnegativ oder integrierbar
> bezüglich des Produktmaßes, dann kommts nicht auf die
> Reihenfolge an. Das heißt, es reicht den Integranden grob
> abzuschätzen durch max(|a|,|b|) und das reicht dann schon,
> da es sich ja um einen endlichen Maßraum handelt. Das
> ganze Integral ist dann im Betrag durch (b-a) [mm]\pi[/mm] max(|a|,
> |b|) beschränkt.
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> In diesem einfachen Fall könnte man das aber sicherlich
> auch konkret nachrechnen, wenn du dir die Mühe machen
> willst.
> >
> > Desweiteren frage ich mich wo sind die Einschränkungen -
> > für welche Doppel- und Dreifachintegrale (bzw. n-fach
> > Integrale) ist die Integrationsreihenfolge von belang?
> >
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> Nunja, es gibt nun auch Maßräume, die sind nicht endlich
> oder Integranden, die alles andere als beschränkt sind,
> sodass es vorkommen kann, dass er nicht integrierbar
> bezüglich des Produktmaßes ist.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> Erst mal vielen Dank für deine Mühe!
Ich hätte da aber noch ne Frage - warum lehren die meisten nicht rein mathematischen Bücher, (z.B. Papula u.s.w.) das bei Zweifach- oder Dreifachintegralen die Integrationsreihenfolge nach dem Schema: " von innen nach außen" beginnend mit dem innersten Differenzial folgt?
Würde ich nun dieses Integral mit uneigentlichen Integrationsintervallen o. uneigentlichen Integranden rechnen - gelte dann immer noch der Satz von Fubini? > Hallo!
> > Zeigen Sie, dass das folgende Integral unabhängig von
> der
> > Integrationsreihenfolge [mm]ist:(\integral_{0}^{1}) (\integral_{a}^{b})(\integral_{0}^{\pi}) x^{2}*y*sin(z)dzdydx[/mm]
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> >
> > Ich frage mich wie der bewiesene Satz dazu heißt, da ich
> > nur den Satz von Fubini kenne für eine stetige Funktion im
> > abgeschlossenen Rechteck.
> Fubini ist genau das, was du brauchst. Dieser sagt: Hat
> man eine messbare Funktion auf einem Rechteck (oder eben
> Quader) und ist sie nichtnegativ oder integrierbar
> bezüglich des Produktmaßes, dann kommts nicht auf die
> Reihenfolge an. Das heißt, es reicht den Integranden grob
> abzuschätzen durch max(|a|,|b|) und das reicht dann schon,
> da es sich ja um einen endlichen Maßraum handelt. Das
> ganze Integral ist dann im Betrag durch (b-a) [mm]\pi[/mm] max(|a|,
> |b|) beschränkt.
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> In diesem einfachen Fall könnte man das aber sicherlich
> auch konkret nachrechnen, wenn du dir die Mühe machen
> willst.
> >
> > Desweiteren frage ich mich wo sind die Einschränkungen -
> > für welche Doppel- und Dreifachintegrale (bzw. n-fach
> > Integrale) ist die Integrationsreihenfolge von belang?
> >
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> Nunja, es gibt nun auch Maßräume, die sind nicht endlich
> oder Integranden, die alles andere als beschränkt sind,
> sodass es vorkommen kann, dass er nicht integrierbar
> bezüglich des Produktmaßes ist.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mo 13.05.2013 | | Autor: | synergetic |
Mit den Lehrbüchern hat sich geklärt - bleibt nur noch die 2. Frage - Danke!> Erst mal vielen Dank für deine Mühe!
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> Ich hätte da aber noch ne Frage - warum lehren die meisten
> nicht rein mathematischen Bücher, (z.B. Papula u.s.w.) das
> bei Zweifach- oder Dreifachintegralen die
> Integrationsreihenfolge nach dem Schema: " von innen nach
> außen" beginnend mit dem innersten Differenzial folgt?
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> Würde ich nun dieses Integral mit uneigentlichen
> Integrationsintervallen o. uneigentlichen Integranden
> rechnen - gelte dann immer noch der Satz von Fubini?>
> Hallo!
> > > Zeigen Sie, dass das folgende Integral unabhängig
> von
> > der
> > > Integrationsreihenfolge [mm]ist:(\integral_{0}^{1}) (\integral_{a}^{b})(\integral_{0}^{\pi}) x^{2}*y*sin(z)dzdydx[/mm]
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> > > Ich frage mich wie der bewiesene Satz dazu heißt, da ich
> > > nur den Satz von Fubini kenne für eine stetige Funktion im
> > > abgeschlossenen Rechteck.
> > Fubini ist genau das, was du brauchst. Dieser sagt: Hat
> > man eine messbare Funktion auf einem Rechteck (oder eben
> > Quader) und ist sie nichtnegativ oder integrierbar
> > bezüglich des Produktmaßes, dann kommts nicht auf die
> > Reihenfolge an. Das heißt, es reicht den Integranden grob
> > abzuschätzen durch max(|a|,|b|) und das reicht dann schon,
> > da es sich ja um einen endlichen Maßraum handelt. Das
> > ganze Integral ist dann im Betrag durch (b-a) [mm]\pi[/mm] max(|a|,
> > |b|) beschränkt.
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> > In diesem einfachen Fall könnte man das aber sicherlich
> > auch konkret nachrechnen, wenn du dir die Mühe machen
> > willst.
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> > > Desweiteren frage ich mich wo sind die Einschränkungen -
> > > für welche Doppel- und Dreifachintegrale (bzw. n-fach
> > > Integrale) ist die Integrationsreihenfolge von belang?
> > >
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> > Nunja, es gibt nun auch Maßräume, die sind nicht endlich
> > oder Integranden, die alles andere als beschränkt sind,
> > sodass es vorkommen kann, dass er nicht integrierbar
> > bezüglich des Produktmaßes ist.
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > Erst mal vielen Dank für deine Mühe!
>
> Ich hätte da aber noch ne Frage - warum lehren die meisten
> nicht rein mathematischen Bücher, (z.B. Papula u.s.w.) das
> bei Zweifach- oder Dreifachintegralen die
> Integrationsreihenfolge nach dem Schema: " von innen nach
> außen" beginnend mit dem innersten Differenzial folgt?
>
> Würde ich nun dieses Integral mit uneigentlichen
> Integrationsintervallen o. uneigentlichen Integranden
> rechnen - gelte dann immer noch der Satz von Fubini? >
> Hallo!
> > > Zeigen Sie, dass das folgende Integral unabhängig
> von
> > der
> > > Integrationsreihenfolge [mm]ist:(\integral_{0}^{1}) (\integral_{a}^{b})(\integral_{0}^{\pi}) x^{2}*y*sin(z)dzdydx[/mm]
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> > > Ich frage mich wie der bewiesene Satz dazu heißt, da ich
> > > nur den Satz von Fubini kenne für eine stetige Funktion im
> > > abgeschlossenen Rechteck.
> > Fubini ist genau das, was du brauchst. Dieser sagt: Hat
> > man eine messbare Funktion auf einem Rechteck (oder eben
> > Quader) und ist sie nichtnegativ oder integrierbar
> > bezüglich des Produktmaßes, dann kommts nicht auf die
> > Reihenfolge an. Das heißt, es reicht den Integranden grob
> > abzuschätzen durch max(|a|,|b|) und das reicht dann schon,
> > da es sich ja um einen endlichen Maßraum handelt. Das
> > ganze Integral ist dann im Betrag durch (b-a) [mm]\pi[/mm] max(|a|,
> > |b|) beschränkt.
> >
> > In diesem einfachen Fall könnte man das aber sicherlich
> > auch konkret nachrechnen, wenn du dir die Mühe machen
> > willst.
> > >
> > > Desweiteren frage ich mich wo sind die Einschränkungen -
> > > für welche Doppel- und Dreifachintegrale (bzw. n-fach
> > > Integrale) ist die Integrationsreihenfolge von belang?
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> > Nunja, es gibt nun auch Maßräume, die sind nicht endlich
> > oder Integranden, die alles andere als beschränkt sind,
> > sodass es vorkommen kann, dass er nicht integrierbar
> > bezüglich des Produktmaßes ist.
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
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> Erst mal vielen Dank für deine Mühe!
>
> Ich hätte da aber noch ne Frage - warum lehren die meisten
> nicht rein mathematischen Bücher, (z.B. Papula u.s.w.) das
> bei Zweifach- oder Dreifachintegralen die
> Integrationsreihenfolge nach dem Schema: " von innen nach
> außen" beginnend mit dem innersten Differenzial folgt?
>
> Würde ich nun dieses Integral mit uneigentlichen
> Integrationsintervallen o. uneigentlichen Integranden
> rechnen - gelte dann immer noch der Satz von Fubini?>
> Hallo!
> > > Zeigen Sie, dass das folgende Integral unabhängig
> von
> > der
> > > Integrationsreihenfolge [mm]ist:(\integral_{0}^{1}) (\integral_{a}^{b})(\integral_{0}^{\pi}) x^{2}*y*sin(z)dzdydx[/mm]
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> > >
> > > Ich frage mich wie der bewiesene Satz dazu heißt, da ich
> > > nur den Satz von Fubini kenne für eine stetige Funktion im
> > > abgeschlossenen Rechteck.
> > Fubini ist genau das, was du brauchst. Dieser sagt: Hat
> > man eine messbare Funktion auf einem Rechteck (oder eben
> > Quader) und ist sie nichtnegativ oder integrierbar
> > bezüglich des Produktmaßes, dann kommts nicht auf die
> > Reihenfolge an. Das heißt, es reicht den Integranden grob
> > abzuschätzen durch max(|a|,|b|) und das reicht dann schon,
> > da es sich ja um einen endlichen Maßraum handelt. Das
> > ganze Integral ist dann im Betrag durch (b-a) [mm]\pi[/mm] max(|a|,
> > |b|) beschränkt.
> >
> > In diesem einfachen Fall könnte man das aber sicherlich
> > auch konkret nachrechnen, wenn du dir die Mühe machen
> > willst.
> > >
> > > Desweiteren frage ich mich wo sind die Einschränkungen -
> > > für welche Doppel- und Dreifachintegrale (bzw. n-fach
> > > Integrale) ist die Integrationsreihenfolge von belang?
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> > >
> > Nunja, es gibt nun auch Maßräume, die sind nicht endlich
> > oder Integranden, die alles andere als beschränkt sind,
> > sodass es vorkommen kann, dass er nicht integrierbar
> > bezüglich des Produktmaßes ist.
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > Erst mal vielen Dank für deine Mühe!
>
> Ich hätte da aber noch ne Frage - warum lehren die meisten
> nicht rein mathematischen Bücher, (z.B. Papula u.s.w.) das
> bei Zweifach- oder Dreifachintegralen die
> Integrationsreihenfolge nach dem Schema: " von innen nach
> außen" beginnend mit dem innersten Differenzial folgt?
>
> Würde ich nun dieses Integral mit uneigentlichen
> Integrationsintervallen o. uneigentlichen Integranden
> rechnen - gelte dann immer noch der Satz von Fubini? >
Das kommt immer darauf an...Angenommen du integrierst in der Variable x über die gesamte reelle Achse und über z mal symmetrisch von -a bis a. Dann kommt da ja unendlich raus, wenn man bei x anfängt, aber 0, wenn du bei z beginnst. In diesem Fall stimmt der Satz von Fubini also nicht mehr.
Machst du es allerdings über [mm] x\in \IR, y\ge [/mm] 0 und z zum Beispiel von 0 bis [mm] \pi, [/mm] so ist der Satz von Fubini wieder anwendbar, da der Integrand nicht negativ ist.
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