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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Integriere:
[mm] $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^6-2x^5+5x^4-8x^3+7x^2-5x+5}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} [/mm] |
Um das zu integrieren mach ich erst mal Polynomdivision. Das Ergebnis der ersten PD ist:
[mm] $x^2+3+\frac{x+2}{Q(x)}
[/mm]
Dann mach ich mit Q(x) nochmal eine PD mit der Nst. von Q(x) die 1 ist. Das Ergebnis der neuen PD lautet:
[mm] $x^3-x^2+x-1$
[/mm]
Nun suche ich wieder eine Nst. Diese ist immer noch 1, also der neue Dividen noch immer x-1. Das Ergebnis der erneuten PD lautet: [mm] $x^2+1$
[/mm]
Soweit hab ich das alles noch verstanden.
Nun steht aber in meiner Lösung, dass gilt: [mm] $Q(x)=(x-1)^2\cdot (x^2+1)$
[/mm]
Wie kommt es zu diesem Ausdruck? Welche Ergebniss sind daran verwertet? Die letzte Klammer ist anscheinend das Ergebnis der allerletzten PD. Was ist aber die erste Klammer? Wenn ich sie ausmulipliziere komm ich auf: [mm] $x^2-2x+1$. [/mm] Diesen Term finde ich denn noch nirgends!
Könnt ihr mir helfen?
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> Integriere:
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> [mm]$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^6-2x^5+5x^4-8x^3+7x^2-5x+5}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}[/mm]
>
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> Um das zu integrieren mach ich erst mal Polynomdivision.
> Das Ergebnis der ersten PD ist:
>
> [mm]$x^2+3+\frac{x+2}{Q(x)}[/mm]
>
> Dann mach ich mit Q(x) nochmal eine PD mit der Nst. von
> Q(x) die 1 ist. Das Ergebnis der neuen PD lautet:
>
> [mm]x^3-x^2+x-1[/mm]
>
> Nun suche ich wieder eine Nst. Diese ist immer noch 1, also
> der neue Dividen noch immer x-1. Das Ergebnis der erneuten
> PD lautet: [mm]x^2+1[/mm]
>
> Soweit hab ich das alles noch verstanden.
>
> Nun steht aber in meiner Lösung, dass gilt:
> [mm]Q(x)=(x-1)^2\cdot (x^2+1)[/mm]
>
> Wie kommt es zu diesem Ausdruck? Welche Ergebniss sind
> daran verwertet? Die letzte Klammer ist anscheinend das
> Ergebnis der allerletzten PD. Was ist aber die erste
> Klammer? Wenn ich sie ausmulipliziere komm ich auf:
> [mm]x^2-2x+1[/mm]. Diesen Term finde ich denn noch nirgends!
>
> Könnt ihr mir helfen?
Hallo bandchef,
es geht also nur um die Faktorisierung des Nenners
[mm] Q(x)=x^4-2x^3+2x^2-2x+1
[/mm]
Du hattest doch schon die Nullstelle x=1 gefunden, und
zwar sogar zweimal. Durch die zweimalige PD durch (x-1)
hast du doch eigentlich gerechnet:
[mm] \frac{Q(x)}{(x-1)^2}=x^2+1
[/mm]
Also ist doch eben [mm] Q(x)=(x-1)^2*(x^2+1)
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Dass das [mm] $(x-1)^2$ [/mm] von der zweimaligen PD kommt leuchtet mir jetzt ein. Was ist dann aber das [mm] $x^2-1$? [/mm] Ist das dann wirklich das Ergebnis der letzten PD? Wenn ja, warum, das macht jetzt für mich grad keine Sinn mehr, insbesondere deswegen weil mir jetzt klar ist, was die erste Klammer ist!
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Hallo bandchef,
> Dass das [mm](x-1)^2[/mm] von der zweimaligen PD kommt leuchtet mir
> jetzt ein. Was ist dann aber das [mm]x^2-1[/mm]?
Du meinst [mm] x^2\blue{+}1.
[/mm]
> Ist das dann
> wirklich das Ergebnis der letzten PD? Wenn ja, warum, das
> macht jetzt für mich grad keine Sinn mehr, insbesondere
> deswegen weil mir jetzt klar ist, was die erste Klammer
> ist!
Quatsch. Rechne doch einfach zurück.
Was ist [mm] (x-1)^2(x^2+1) [/mm] ?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich das jetzt ausmulipliziere, dann komm ich auf Q(x) zurück. Dennoch weiß ich jetzt IMMER nocht nicht woher das [mm] $(x^2+1)$ [/mm] kommt. Ist es wirklich nicht das Ergebnis der letzten PD? Komischerweise kommt nun wirklich geneu das als Ergebnis der PD raus.
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Hallo bandchef,
> Wenn ich das jetzt ausmulipliziere, dann komm ich auf Q(x)
> zurück. Dennoch weiß ich jetzt IMMER nocht nicht woher
> das [mm](x^2+1)[/mm] kommt. Ist es wirklich nicht das Ergebnis der
> letzten PD? Komischerweise kommt nun wirklich geneu das als
> Ergebnis der PD raus.
Ich verstehe nicht, was du da sagst.
Du hast die doppelte Nullstelle [mm]x=1[/mm] raus.
Rechne doch [mm](x^4-2x^3+2x^2-2x+1):(x-1)^2[/mm] mal aus.
Da kommt [mm]x^2+1[/mm] raus.
Rechne in 2 Schritten:
[mm](x^4-2x^3+2x^2-2x+1):(x-1)=x^3-x^2+x-1[/mm]
Und dann [mm](x^3-x^2+x-1):(x-1)=...[/mm]
Was kommt da wohl raus? ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1. PD:
$(x^6-2x^5+5x^4-8x^3+7x^2-x+5):(x^4-2x^3+2x^2-2x+1) = x^2+3+ \underbrace{\frac{x+2}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}}_{=Q(x)}}$
Jetzt rate ich was eine Nst. vom Nennerpolynom Q(x) des gebrochenrationale Anteils der 1. PD ist. Ich sehe, das ist eine 1, also folgt als neuer Dividend (x-1).
2. PD:
$(x^4-2x^3+2x^2-2x+1):(x-1)=x^3-x^2+x-1$
Jetzt rate ich wieder was eine Nst. vom Polynom des Ergebnisses der 2. PD ist. Ich sehe, das ist wieder eine 1, also folgt als neuer Dividend wieder (x-1).
3. PD:
$(x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1$
Jetzt folgt:
$Q(x)=\underbrace{(x-1)}_{\text{das ist der Dividend der 2. PD}} \cdot \underbrace{(x-1)}_{\text{das ist der Dividend der 3. PD}} \cdot \underbrace{(x^2-1)}_{\text{Wo kommt der Teil her?}}
Ist die letzte Klammer nun nur das Ergebnis der 3. PD, oder was anderes? Das ist das was ich wissen will. Wenn es das Ergebnis der 3. PD ist, frage ich mich warum. Die beiden anderen sind ja die Dividenden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich spreche immer von Dividend. Ich meine natürlich Divisor. Bin da grad mit den Begriffen durcheinander gekommen!
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Hallo,
1. Polynomdivision:
[mm] (x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1):(x-1)=x^{3}-x^{2}+x-1
[/mm]
2. Polynomdivision:
[mm] (x^{3}-x^{2}+x-1):(x-1)=x^{2}+1
[/mm]
also: [mm] (x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1)=(x^{2}+1)*(x-1)*(x-1)=(x^{2}+1)*(x-1)^{2}
[/mm]
es ist noch zu knacken
[mm] \bruch{x+2}{(x^{2}+1)*(x-1)^{2}}=\bruch{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\bruch{C}{(x-1)}+\bruch{D}{(x-1)^{2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab nun den Ausdruck raus:
[mm] \frac{A_1}{(x-1)^2} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{(x-1)} [/mm] + [mm] \frac{Bx+C}{x^2+1}
[/mm]
Ist es richtig, wenn ich den Ausdruck auf den gleichen Nenner bringe? Wenn ja, dann sieht das bei mir so aus (nach Kürzen!):
[mm] \frac{A_1(x^2+1) + A_2(x-1)(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)(x-1)}{(x-1)^2(x^2+1)}
[/mm]
Stimmt das so?
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Puuh, endlich.
> Ich hab nun den Ausdruck raus:
>
> [mm]\frac{A_1}{(x-1)^2}[/mm] + [mm]\frac{A_2}{(x-1)}[/mm] +
> [mm]\frac{Bx+C}{x^2+1}[/mm]
>
> Ist es richtig, wenn ich den Ausdruck auf den gleichen
> Nenner bringe? Wenn ja, dann sieht das bei mir so aus (nach
> Kürzen!):
>
>
> [mm]\frac{A_1(x^2+1) + A_2(x-1)(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)(x-1)}{(x-1)^2(x^2+1)}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, so stimmt alles.
Jetzt mal weiter.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich betrachte nun nur die beiden Zähler:
[mm] $\Rightarrow x+2=A_1x^2+A_1+A_2x^3-A_2x^2+A_2x-A_2+Bx^3-2Bx^2+Bx+Cx^2-2Cx+C$
[/mm]
Jetzt folgt dann noch Koeffizientenvergleich:
[mm] $x^3: A_2+B [/mm] = ?$
[mm] $x^2: A_1-A_2-2B+C [/mm] = ?$
[mm] $x^1: A_2+B-2C [/mm] = ?$
[mm] $x^0: A_1-A_2+C [/mm] = ?$
Ich weiß jetzt irgendwie bloß nicht, wo die rechte Seite der Gleichungen herkommen...
PS: Jetzt könnte man ein lineares Gleichungssystem aufstellen und die Lösungen berechnen. Dazu hab ich aber jetzt keine Lust mehr. Das macht dann morgen Maple 
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Hallo nochmal,
> Ich betrachte nun nur die beiden Zähler:
>
> [mm]\Rightarrow x+2=A_1x^2+A_1+A_2x^3-A_2x^2+A_2x-A_2+Bx^3-2Bx^2+Bx+Cx^2-2Cx+C[/mm]
>
>
>
> Jetzt folgt dann noch Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]x^3: A_2+B = ?[/mm]
> [mm]x^2: A_1-A_2-2B+C = ?[/mm]
> [mm]x^1: A_2+B-2C = ?[/mm]
> [mm]x^0: A_1-A_2+C = ?[/mm]
>
> Ich weiß jetzt irgendwie bloß nicht, wo die rechte Seite
> der Gleichungen herkommen...
Na, die linke Seite hast Du aus der rechten Seite der Zählergleichung bekommen. Dann kommt die jetzt rechte Seite natürlich von der entsprechenden linken Seite der Zählergleichung, wo ja folgendes steht:
[mm] 0x^3+0x^2+1x+2
[/mm]
> PS: Jetzt könnte man ein lineares Gleichungssystem
> aufstellen und die Lösungen berechnen. Dazu hab ich aber
> jetzt keine Lust mehr. Das macht dann morgen Maple
Na, dann.
Grüße
reverend
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Hallo bandchef,
das ist jetzt schon das zweite Mal, also wahrscheinlich kein Zufall.
> Jetzt folgt:
>
> [mm]$Q(x)=\underbrace{(x-1)}_{\text{das ist der Dividend der 2. PD}} \cdot \underbrace{(x-1)}_{\text{das ist der Dividend der 3. PD}} \cdot \underbrace{(x^2-1)}_{\text{Wo kommt der Teil her?}}[/mm]
>
> Ist die letzte Klammer nun nur das Ergebnis der 3. PD, oder
> was anderes? Das ist das was ich wissen will. Wenn es das
> Ergebnis der 3. PD ist, frage ich mich warum. Die beiden
> anderen sind ja die Dividenden!
Wieso schon wieder [mm] x^2-1 [/mm] ? Das ist falsch! Da muss [mm] x^2+1 [/mm] stehen.
Ich nehme an, entweder hast Du an irgendeiner Stelle falsch abgeschrieben, oder Deine Musterlösung enthält schlicht einen Tippfehler.
Grüße
reverend
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