Integrationsgrenzen bei Kegeln < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 04.10.2007 | | Autor: | hilbertp |
| Aufgabe | Ermitteln Sie den Fluss des Vektorfeldes [mm] \vec{v}: \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] \vec{v}=( \bruch {x^3}{3}, \bruch {y^3}{3}, 0)^{T} [/mm] durch die gesamte Oberfläche des Körpers K, der von den Flächen [mm] x^{2}+y^{2}=z [/mm] und z=1 berandet wird.
Hinweis: Benutzen Sie einen Integralsatz und anschließend Zylinderkoordinaten. |
Hallo Gemeinde,
ich konnte eben bei dieser Aufgabe keine gute Idee finden, wie ich die Integrationsgrenzen von z bzw. r korrekt setzen kann.
Mein Ansatz war, dass ich versucht habe die Menge K (also nicht den Rand sondern auch das Innere) zu parametrisieren. Bitte sagt mir, ob das so korrekt ist:
[mm] \gamma(r,\phi)= [/mm] (r cos [mm] \phi, [/mm] r sin [mm] \phi, ???)^{T}
[/mm]
wie bestimme ich die z-Komponente am besten? Ich möchte Sie gerne in Abhängigkeit von r darstellen. Also [mm] x^{2}+y{2}=z \gdw r^{2}=z [/mm] ? Demnach müsste also in die z-Komponente [mm] r^{2}, [/mm] richtig? Und somit also z in den Grenzen [mm] r^{2} [/mm] und 1?
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Hallo!
Die Zylinderkoordinaten stimmen schon FAST, da fehlt doch noch z drin:
[mm] \vektor{r\cos\phi \\r\sin\phi \\ z}
[/mm]
Zu den Integrationsgrenzen: [mm] $\phi\in [/mm] [0; [mm] 2\pi]$ [/mm] sollte ja klar sein. Ob du z abhängig von r oder umgekeht darstellst, ist egal. Da der größte z-Wert gegeben ist, würde ich r abhängig von z berechnen.
Zeichne den Kegel doch mal von der Seite. z ist anscheinend aus dem bereich [0; 1]. Der Radius fängt normalerweise immer bei 0 an, aber er stößt an den schräge Kegelmantel. Wie ist denn der Zusammenhang zwischen r und z am Kegelmantel? Sicherlich nicht quadratisch! jedenfalls bekommst du so den maximalen Wert für r bei einer gegebenen Höhe z.
Wenn du dann integrierst, vergiss nicht, den gesamten Integranden vorher noch mit r durchzumultiplizieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Do 04.10.2007 | | Autor: | hilbertp |
EDITIERT:
jo danke erstmal. das mit der transformationformel und die integration an sich ist alles kein problem.
nur die grenzen haken bei mir. nachdem was du sagst, müsste die parametrisierung also schlichtweg [mm] (rcos\hpi, rsin\phi, r)^{T} [/mm] sein... das habe ich auch vermutet. jedoch kam ich mit den integrationgrenzen 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1, 0 [mm] \le \phi \le 2\pi, [/mm] r [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 zu einem falschen ergebnis... als ich in der musterlösung nachschaute, waren die grenzen von z durch [mm] r^{2} \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 ohne begründung einfach gegeben und das integral wurde dann in der reihenfolge dz [mm] d\phi [/mm] dr ausgerechnet...
drum meine verwunderung wie ich auf [mm] r^{2} [/mm] als untere integrationsgrenze von z komme. ich habe mir das dann so zusammengereimt, dass
[mm] x^{2}+y^{2}= r^{2}=z [/mm]
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Allerdings muss ich mich nun doch korrigieren. Ich habe mal wieder was anderes gelesen, als da stand.
Es geht ja doch nicht um keinen Kegel, sondern um so ein... etwas spitzeres Ding. Von der Seite sieht das aus, als würde die Wurzelfunktion um die z-Achse rotieren. Daher ist dir parametrisierung der Oberfläche NATÜRLICH
[mm] \vektor{r \cos \phi \\ r \sin \phi \\ r^2}
[/mm]
Das heißt also für die Grenzen: [mm] $z\in [r^2; [/mm] 1]$ und [mm] $r\in[0;1]$
[/mm]
Sorry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Do 04.10.2007 | | Autor: | hilbertp |
das heißt, die formel [mm] x^{2}+y^{2}=z [/mm] beschreibt keinen herkömmlichen kegel mit linearen rändern (in der yz-ebene) sondern mit wurzelförmigen rändern? na gut zu wissen, denn sonst hät ich echt nie verstanden, warum die aufgabe so richtig lösbar ist... :) danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Do 04.10.2007 | | Autor: | hilbertp |
oops, das sollte eher eine rhetorische frage bzw bemerkung sein, keine neue frage...
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