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Integration von sqrt(25-x^2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mo 16.01.2006
Autor: jazzyjeff

Aufgabe
  [mm] \integral_{a}^{b} {\wurzel{25-x^2} dx} [/mm]

Hi, ich habe mich gerade angemeldet und würde gern meine erste Frage stellen. Vorweg ich lese das Forum schon seit ca. 2 Monaten aber für diese Aufgabe habe ich noch keine Lösung gefunden, für andere Fragen aber schon und dafür würde ich mich gerne bedanken.
Jetzt zu meiner Frage, das Integral ist Lösung einer Aufgabe, die habe soweit gelöst bis eben auf diese Integral:
[mm] \integral_{a}^{b} {\wurzel{25-x^2} dx} [/mm]
Mein Lösungsansatz war:
x=5sin(u) -> du/dx=5cos(u) ->dx=du/5cos(u) -> u=arcsin(x/5)
[mm] \integral_{a}^{b} {5\wurzel{1-sin^2(u)} du/5cos(u)} [/mm]
[mm] \integral_{a}^{b} {\wurzel{1-sin^2(u)} du/cos(u)} [/mm]
[mm] \integral_{a}^{b} {\wurzel{cos^2(u)} du/cos(u)} [/mm]
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] 1 du

dann hätte ich aber:

{u}=arcsin(x/5)

Die richtige Lösung ist aber:
[mm] 1/2*x*\wurzel{25-x^2}+25arcsin(x/5) [/mm]

Da ich grundsätzlich Probleme mit solchen Integralen habe, wäre ich für ein Tipp dankbar.

P.S.
Ich hoffe das mein erster Postnicht ganz falsch gewessen ist ;-)

P.P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Integration von sqrt(25-x^2): Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Mo 16.01.2006
Autor: Loddar

Hallo jezzyjeff,

[willkommenmr] !!

>  [mm]\integral_{a}^{b} {\wurzel{25-x^2} dx}[/mm]


> Mein Lösungsansatz war:
> x=5sin(u) -> du/dx=5cos(u) ->dx=du/5cos(u) ->  u=arcsin(x/5)

[notok] Substitution ist richtig. Aber es gilt für die Ableitung:

$x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] \ = \ [mm] 5*\cos(u)$ $\gdw$ [/mm]     $dx \ = \ [mm] 5*\cos(u)*du$ [/mm]


> [mm]\integral_{a}^{b} {\wurzel{cos^2(u)} du/cos(u)}[/mm]

[notok] Folgefehler! Durch das einsetzen ergibt sich dann folgendes zu lösende Integral:

$... \ = \ [mm] \integral{\cos^2(u) \ du}$ [/mm]


Dieses kannst Du nun lösen mit der partiellen Integration:

$... \ = \ [mm] \integral{\underbrace{\cos(u)}_{= \ u'}*\underbrace{\cos(u)}_{= \ v} \ du}$ [/mm]


  
> P.S. Ich hoffe das mein erster Postnicht ganz falsch gewessen ist ;-)

[daumenhoch] Alles richtig gemacht! Anrede, Frage gestellt und das wichtigste: eigene Ansätze geliefert! [ok]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Integration von sqrt(25-x^2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Mo 16.01.2006
Autor: jazzyjeff

Also ich bin fast am Ziel. Den Fehler habe ich erkannt. Der kam deshalb vor, weil ich bei ca. 98% der Aufgaben immer die Substitution u=... mache. Der Kulli war schneller als die Gedanken...
Jetzt habe ich:
[mm] 25\integral_{a}^{b} [/mm] {cos(u)cos(u)du}
[mm] 25\integral_{a}^{b} {(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}cos(2u))} [/mm]
[mm] 25(\bruch{1}{2}u+\bruch{1}{4}sin(2u)) [/mm]
Dann die Rücksunstitution:
Sub. war: x=5sin(u) -> u=arcsin( [mm] \bruch{x}{5}) [/mm]
Also:
[mm] 25(\bruch{1}{2}arcsin(\bruch{x}{5})+\bruch{1}{4}sin(arcsin( \bruch{x}{5}))) [/mm]
Der erste Summand ist richtig. Aber der zweite....
Bei Hyperbelfunktionen hat man ja die Area-Funktionen, hier auf:
[mm] \bruch{1}{2}x \wurzel{25-x^2} [/mm]
zu kommen, fehlt mir jeder Ansatz. Ausser vielleicht:
[mm] \bruch{1}{2}sin(2u)=sin(u)cos(u) [/mm]
Damit wäre der zweite Summand:
[mm] 25\bruch{1}{2}(u)cos(u)=25\bruch{1}{2} \bruch{x}{5}cos(u), [/mm] da sin(u)= [mm] \bruch{x}{5} [/mm]
Ups, fast gelöst, oder? Kann nicht mehr weit sein:
[mm] 5cos(u)=\wurzel{25-x^2} [/mm]
Wenn das jetzt so stimmen würde, wäre meine Frage warum?



Bezug
                        
Bezug
Integration von sqrt(25-x^2): fast fertig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:10 Di 17.01.2006
Autor: leduart

Hallo jeff
> Also ich bin fast am Ziel. Den Fehler habe ich erkannt. Der
> kam deshalb vor, weil ich bei ca. 98% der Aufgaben immer
> die Substitution u=... mache. Der Kulli war schneller als
> die Gedanken...
>  Jetzt habe ich:
>  [mm]25\integral_{a}^{b}[/mm] {cos(u)cos(u)du}
>  [mm]25\integral_{a}^{b} {(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}cos(2u))}[/mm]
>  
> [mm]25(\bruch{1}{2}u+\bruch{1}{4}sin(2u))[/mm]
>  Dann die Rücksunstitution:
>  Sub. war: x=5sin(u) -> u=arcsin( [mm]\bruch{x}{5})[/mm]

>  Also:
>  
> [mm]25(\bruch{1}{2}arcsin(\bruch{x}{5})+\bruch{1}{4}sin[red]2[/red](arcsin( \bruch{x}{5})))[/mm]

nur Schribfehler?  
> Der erste Summand ist richtig. Aber der zweite....
>  Bei Hyperbelfunktionen hat man ja die Area-Funktionen,
> hier auf:
>  [mm]\bruch{1}{2}x \wurzel{25-x^2}[/mm]
>  zu kommen, fehlt mir jeder
> Ansatz. Ausser vielleicht:
>   [mm]\bruch{1}{2}sin(2u)=sin(u)cos(u)[/mm]
>  Damit wäre der zweite Summand:
>  [mm]25\bruch{1}{2}(u)cos(u)=25\bruch{1}{2} \bruch{x}{5}cos(u),[/mm]
> da sin(u)= [mm]\bruch{x}{5}[/mm]
>  Ups, fast gelöst, oder? Kann nicht mehr weit sein:
>  [mm]5cos(u)=\wurzel{25-x^2}[/mm]
>  Wenn das jetzt so stimmen würde, wäre meine Frage warum?

[mm] cosu=\wurzel{1-sin^2u } [/mm]    sinu =x/5 fertig!
Ich hoff,das war die Frage.
Gruss leduart
Bezug
                                
Bezug
Integration von sqrt(25-x^2): Fertig. Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Di 17.01.2006
Autor: jazzyjeff

Jetzt habe ich es. Werde gleich noch paar Aufgaben durchrechnen, aber bis jetzt klappt es wunderbar. Vielen Dank!
Bezug
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