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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:20 Mi 06.06.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Zeigen Sie direkt, dass [tex]e^{x}[/tex] auf dem Intervall [0,1] integrierbar ist, und die Fläche darunter gerade e-1 groß ist.
Tipp: Erinnern Sie sich an die geometrische Reihe und bedenken Sie den Ableitungswert von [tex]e^{x}[/tex] an der Stelle 0. |
Aloha hé,
Von der Idee her, ist das sicherlich super simpel, umso wahnsinniger werde ich, dass ich das nicht so rausbekomme wie ich will.
Die e-Funktion ist auf dem gegebenen Intervall ja gerade dann integrierbar, wenn es eine Ober und Untersumme von Treppenfunktionsflächen gibt, die im limes gegen die Fläche unter der Funktion konvergieren.
Im Grunde brauche ich also eine "untere Treppenfunktion" [tex] \tau_{1}^{n} [/tex] und eine "obere Treppenfunktion" [tex] \tau_{2}^{n} [/tex]. Der Riemann-Idee folgend bedeutet das:
[tex] \integral_{0}^{1}{\tau_{1}^{n}(x) dx} = \summe_{i=0}^{n-1}e^{i * \bruch{1}{n}} * \bruch{1}{n} [/tex]
bzw.
[tex] \integral_{0}^{1}{\tau_{2}^{n}(x) dx} = \summe_{i=1}^{n}e^{i * \bruch{1}{n}} * \bruch{1}{n} [/tex]
Wenn ich dann [tex] n \rightarrow \infty [/tex] laufen lasse sollte ich gerade:
[tex] \integral_{0}^{1}{\tau_{1}^{\infty}(x) dx} = \integral_{0}^{1}{f(x) dx} = \integral_{0}^{1}{\tau_{2}^{\infty}(x) dx} [/tex].
Mein Problem ist jetzt eher, dass ich ja zeigen muss dass für [tex] n \rightarrow \infty [/tex]:
[tex] \integral_{0}^{1}{\tau_{1}^{n}(x) dx} = \summe_{i=0}^{n-1}e^{i * \bruch{1}{n}} * \bruch{1}{n} = e-1[/tex]
Den Hinweis mit der geometrischen Reihe finde ich prinzipiell gut, das Problem ist jedoch, dass die geometrische Reihe nur für Summanden kleiner 1 eine explizite Lösung auswirft.
Irgendwie seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht. Für einen Stupps wäre ich sehr dankbar.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich über eine Axt freuen würde.
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Schau dir für die Integrierbarkeit die Differenz zwischen Ober- und Untersumme an. Sollte gegen 0 gehen (tut sie auch).
Für die Berechnung selbst ziehst du erstmal das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] vor die Summe. Dann schau dir nochmal die Herleitung der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe an und variiere sie, so dass sie auf dein Problem passt. Sollte in 3-4 Zeilen zu machen sein...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Mi 06.06.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
Erstmal Danke für den Hinweis mit der Differenz.
Dass das alles eine sehr kurze Sache sein dürfte, ist mir fast klar. Umso mehr wurmt es mich, dass ich das nicht in die entsprechende Form kriege.
Für die geometrische Reihe gilt ja:
[tex] s_{n} = \summe_{i=0}^{n} a_{0} * q^{n} = a_{0} * \bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/tex]
Wenn ich mir jetzt meine Summe für die "Untersumme" anschaue (und den Multiplikator noch vorziehe) erhalte ich:
[mm] $\bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{n-1} [/mm] 1 * [mm] e^{\bruch{1}{n}}^{i} [/mm] = 1 * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{n}}^{(n-1+1)}-1}{e-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * 1 * [mm] \bruch{e-1}{e-1}$.
[/mm]
An der Stelle bin ich nun Ratlos. Wenn ich das nun mit [tex] n \rightarrow \infty [/tex] laufen lasse, kommt da nicht wirklich das raus, was rauskommen soll.
Bei der Obersumme sieht es ähnlich aus, wobei ich dort noch eine Indextransformation machen muss, damit die Summe bei i=0 statt i=1 beginnt.
Es ist wahrlich zum Haare raufen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiter grübeln geht.
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Ich glaube, du machst da einen Fehler. Verifiziere doch mal, dass
[mm]e^{\bruch{1}{n}} S_{n-1} = S_{n-1} - (e - 1) [/mm]
Wenn du jetzt weiterrechnest und zum Grenzwert übergehst, kommt schon das richtige Ergebnis. (Erwarte nicht, dass ich dir die ganze Arbeit abnehme - du wolltest doch etwas lernen, oder?)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:21 Mi 06.06.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé abermals,
die Aufgabe will mir nicht aus dem Kopf. Nachdem ich mir deinen Hinweis, den ich verifizieren sollte, angeschaut habe, drängt sich mir der Verdacht auf, dass meine "Partialsumme" einfach die falsche ist.
Für die Untersumme hatte ich ja gerade: [tex] \bruch{1}{n} * [/tex] [tex] \summe_{i=0}^{n-1} e^{i * \bruch{1}{n}} [/tex]. Rein von der Vorstellung her finde ich die Summe so erstmal in Ordnung... ich teile das Intervall von 0 bis 1 in n viele Stücke der Breite [tex]\bruch{1}{n}[/tex] und der Höhe [tex]e^{\bruch{1}{n}}[/tex].
Ich frage mich halt gerade, wie ich das [tex]e^{\bruch{1}{n}}[/tex] vor die Summe ziehen kann. Denn immerhin multiplizier ich ja [tex]i[/tex] und [tex]e^{\bruch{1}{n}}[/tex] im Exponenten.
Entweder gibt es da einen Trick mit Potenzen, auf den ich gerade nicht komme, oder meine Vorstellung von der Einteilung der Summe ist gänzlich falsch. An einem von beidem liegt es.
Sofern jemand den Fehler benennen kann wäre ich froh... wenn ich weiter mit falschen Voraussetzungen hantiere, werde ich wohl nicht auf ein passables Ergebnis kommen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich weiter die Haare raufen geht.
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Hallo Bodo,
vielleich siehst du mal in ![[]](/images/popup.gif) diesen Link und deine Zweifel zerstreuen sich  !
Schöne Grüße
Daniel
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Wer sagt denn was von vorziehen? Einfach multiplizieren...
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