Integration von einem Kegel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Volumen von einem Kegel mit Höhe 1 berechnen über [mm] B:=((x,y,z);0 |
Hallo.
Ich würde in Zylinderkoordinaten tranforieren.
Also Grenzen für z sind 0 und 1-r nach der Ungleichung.
Für [mm] \phi [/mm] 0 und [mm] 2\pi
[/mm]
Für r, also den Radius, gilt ja die Ungleichung 0<z<1-r.
=> 0<z+r<1
Wie soll ich für r meine Grenzen wählen? Als untere Grenze kann man r=0 nehmen, aber wie lautet die obere Grenze?
Ich bedanke mich für jede Hilfe
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Fr 23.09.2011 | | Autor: | chrisno |
Du hast $r = [mm] \wurzel{x^2+y^2}$. [/mm]
> Also Grenzen für z sind 0 und 1-r nach der Ungleichung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings würde ich anders vorgehen. Du hast noch die Information zur Höhe. Die gibt Dir die Integrationsgrenzen für z.
> Wie soll ich für r meine Grenzen wählen? Als untere
> Grenze kann man r=0 nehmen, aber wie lautet die obere
> Grenze?
Dann kannst Du für jedes z den maximalen Wert für r ausrechnen.
> Für r, also den Radius, gilt ja die Ungleichung 0<z<1-r.
> => 0<z+r<1
> Wie soll ich für r meine Grenzen wählen? Als untere
> Grenze kann man r=0 nehmen, aber wie lautet die obere
> Grenze?
Wenn Du so vorgehst, läufst Du Gefahr, Dich im Kreis zu drehen. Es geht allerdings auch. Du integrierst r von 0 bis 1 und passt auf, dass Du immer die richtigen Werte von z mitnimmst.
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Vielen Dank für die Hilfe bzw. die Kommentare.
In der Aufgabe steht ja die Höhe des Kegels, dementsprechend kann man z doch auch mit den grenzen 0 und 1 betrachten, oder? Es wird ja über dem Gebiet B integriert, deswegen denke ich, dass man z nicht von 0 und 1 laufen lassen kann. Oder kann man das Integral lösen, ohne in Zylinderkoordinaten zu transforieren und dann gilt 0<z<1?
Wie würdest du das Integral lösen? Vermutlich ohne Trafo.
Naja, ich versuch es mal mit.
[mm] \integral_{z=0}^{1-r}(\integral_{r=0}^{1}(\integral_{\phi=o}^{2\pi} [/mm] r [mm] d\phi)dr)dz
[/mm]
[mm] =\integral_{z=0}^{1-r}(\integral_{r=0}^{1}[r*\phi]_{0}^{2\pi})dr)dz
[/mm]
=
[mm] \integral_{z=0}^{1-r}(\integral_{r=0}^{1}(2\pi*r)dr)dz
[/mm]
[mm] =\integral_{z=0}^{1-r}([\pi *r^2]_{0}^{1})dz
[/mm]
[mm] =\integral_{z=0}^{1-r}\pi [/mm] dz
Scheint irgendwie nicht richtig zu sein, oder?
Ich bedanke mich für jede Hilfe
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Vielen Dank für die Hilfe bzw. die Kommentare.
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> In der Aufgabe steht ja die Höhe des Kegels,
> dementsprechend kann man z doch auch mit den grenzen 0 und
> 1 betrachten, oder? Es wird ja über dem Gebiet B
> integriert, deswegen denke ich, dass man z nicht von 0 und
> 1 laufen lassen kann. Oder kann man das Integral lösen,
> ohne in Zylinderkoordinaten zu transforieren und dann gilt
> 0<z<1?
>
> Wie würdest du das Integral lösen? Vermutlich ohne
> Trafo.
>
> Naja, ich versuch es mal mit.
>
> [mm]\integral_{z=0}^{1-r}(\integral_{r=0}^{1}(\integral_{\phi=o}^{2\pi}[/mm]
> r [mm]d\phi)dr)dz[/mm]
>
Zuletzt integrierst Du über feste Grenzen, hier r=0 bis 1.
Damit lautet das Integral:
[mm]\integral_{r=0}^{1}(\integral_{z=0}^{1-r}(\integral_{\phi=0}^{2\pi}
r \ d\phi ) \ dr ) \ dz[/mm]
> [mm]=\integral_{z=0}^{1-r}(\integral_{r=0}^{1}[r*\phi]_{0}^{2\pi})dr)dz[/mm]
> =
> [mm]\integral_{z=0}^{1-r}(\integral_{r=0}^{1}(2\pi*r)dr)dz[/mm]
> [mm]=\integral_{z=0}^{1-r}([\pi *r^2]_{0}^{1})dz[/mm]
>
> [mm]=\integral_{z=0}^{1-r}\pi[/mm] dz
>
> Scheint irgendwie nicht richtig zu sein, oder?
Siehe oben.
>
> Ich bedanke mich für jede Hilfe
>
> TheBozz-mismo
Grus
MathePower
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Vielen Dank. Ist ja auch logisch so.
TheBozz-mismo
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