Integration von Beträgen < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 So 31.01.2010 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | Die ZV X habe die Dichte f(x) = [mm] \begin{cases} 1 - |1 - x|, & \mbox{für } 0 <= x <= 2 \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}
[/mm]
Gesucht ist die Varianz von X. |
Wie ich die Varianz berechne ist mir klar, für [mm] E(X^{2}) [/mm] und [mm] E(X)^{2} [/mm] benötige ich ja die Integrale der Funktion.
[mm] \int_{0}^{2} x^{2} [/mm] f(x) dx = [mm] E(X^{2})
[/mm]
und entsprechend
[mm] \int_{0}^{2} [/mm] x f(x) dx = E(X)
=> Var(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] E(X)^{2}
[/mm]
Allerdings verwirren mich Betragsstriche dann etwas, denn "einfach so" integrieren funktioniert ja nicht. Mich würde interessieren, wie genau ich das Integral aufspalte (nach welchem Schema), also welche Fallunterscheidung und vorallem wie dann die neuen Grenzen der Teilintegrale zustande kommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Die ZV X habe die Dichte f(x) = [mm]\begin{cases} 1 - |1 - x|, & \mbox{für } 0 <= x <= 2 \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}[/mm]
>
> Gesucht ist die Varianz von X.
> Wie ich die Varianz berechne ist mir klar, für [mm]E(X^{2})[/mm]
> und [mm]E(X)^{2}[/mm] benötige ich ja die Integrale der Funktion.
>
> [mm]\int_{0}^{2} x^{2}[/mm] f(x) dx = [mm]E(X^{2})[/mm]
>
> und entsprechend
>
> [mm]\int_{0}^{2}[/mm] x f(x) dx = E(X)
>
> => Var(X) = [mm]E(X^{2})[/mm] - [mm]E(X)^{2}[/mm]
>
> Allerdings verwirren mich Betragsstriche dann etwas, denn
> "einfach so" integrieren funktioniert ja nicht. Mich würde
> interessieren, wie genau ich das Integral aufspalte (nach
> welchem Schema), also welche Fallunterscheidung und
> vorallem wie dann die neuen Grenzen der Teilintegrale
> zustande kommen.
Hallo,
an irgendeiner Stelle x (an welcher) wechselt 1-x sein Vorzeichen.
Da der Betrag auch aus negativen Werten positive macht, bekommt die bisher lineare Funktio 1-x durch den Übergang zu |1-x| einen Knick.
|1-x| bleibt 1-x, wenn 1-x positiv ist.
|1-x| wird zu -(1-x), wenn 1-x negativ ist.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 So 31.01.2010 | | Autor: | pojo |
Soweit habe ich das verstanden, zumindest dass |1-x| für x=0 und x=2 die gleichen Werte ergibt und bei x=1 zu Null wird.
Nur wie gehe ich dann weiter vor um zB.
[mm] $\int_{0}^{2} x^{2} \, [/mm] * [mm] \, [/mm] 1 - |1-x| [mm] \, [/mm] dx$
zu berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Soweit habe ich das verstanden, zumindest dass |1-x| für
> x=0 und x=2 die gleichen Werte ergibt und bei x=1 zu Null
> wird.
>
> Nur wie gehe ich dann weiter vor um zB.
>
> [mm]\int_{0}^{2} x^{2} \, * \, 1 - |1-x| \, dx[/mm]
>
> zu berechnen?
Zerlege in zwei Teilintegrale (die Zwischengrenze liegt bei 1) und schreibe |1-x| um in (1-x) bzw -(1-x). Welcher der beiden Fälle wann gilt, habe ich dir vorhin beschrieben.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 31.01.2010 | | Autor: | pojo |
Zum Verständnis: Ich teile also das Integral in 0-1 und 1-2, weil |1-x| für x=1 einen Knick hat?
Wenn dort also etwas stünde wie f(x) = 1 - |2x| für -1 <= x <= 1, dann würde ich das Integral in -1 bis 0 und 0 bis 1 aufteilen, weil bei x=0 ein Knick eintritt?
Dann wäre also für die obige Aufgabe
[mm] \int [/mm] ... = [mm] \int_{0}^{1} [/mm] 1 - (1-x) dx + [mm] \int_{1}^{2} [/mm] 1 - (x-1) dx = (jeweils mit [mm] x^{2} [/mm] multipliziert) = 7/6
womit ich auch auf die richtige Lösung komme.. super, danke! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, aber besser du schreibst |x-1|=x-1 für x<1 und |x-1|=1-x für [mm] x\ge [/mm] 1. ann siehst du, dass du eigentlich eine stückweise definierte fkt vor dir hast, und dass man da über die einzelnen Def. Bereiche einzeln integrieren muss ist doch wohl klar.
Gruss leduart
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