Integration von 1/(x^2-1) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 16.11.2005 | | Autor: | trouff |
Ähm meine Frage wäre, wie man das:
x+8
___________
(x+3)(x-2)
integriert.
Ich dachte, dass man den Nenner so lassen könne und A dann mit (x-2) und B mit (x+3) erweitert. Dann dachte ich löst man das normal auf. Also:
(A+B)x-2A+3B also A+B=1 und 2A+3B = 8
A=-1/1/2B +4
B=-A+1 A=1/1/2*(-A+1)+4 A=-1/1/2A+5/1/2 2/1/2A= 5/1/2
A=2/1/5
B=-1/1/5
also was hab ich falsch gemcht??
danke im voraus
MFG
trouff
|
|
| |
|
Hi, trouff,
Gauner! Die Überschrift stimmt ja gar nicht mit der Fragestellung überein!
Macht aber nix! System ist dasselbe: Partialbruchzerlegung!
Ansatz:
[mm] \bruch{x+8}{(x+3)(x-2)} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x-2}
[/mm]
Lösung:
Nach Multiplikation mit (x+3)(x-2) ergibt sich:
x+8 = a(x-2) + b(x+3)
Nun setze x=-3 und Du erhältst:
5 = -5a; also: a=-1.
Dann setze x=2 und Du kriegst:
10 = 5b; also b=2.
Das zu intergrieren schaffst Du nun alleine!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mi 16.11.2005 | | Autor: | trouff |
Hoffe ich habe jetzt die richtige Option ausgewählt
Habe zwar nicht genau verstanden, wie du es gemacht hast zwerglein, aber ich habe selber nochmal nachgerechnet und muss mich wohl irgendwie irgendwo vertan haben.
Trotzdem danke
Apropo, warum war den das Thema falsch. Hier ging es doch um Partialbruchzerlegung!!
mfg
trouff
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Do 17.11.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, trouff,
... die Funktion in der Überschrift [mm] (1/(x^2-1) [/mm] ist halt doch einfacher als die, um dies' letztlich geht!
Aber schon klar: Wolltest nur ein Beispiel geben!
> Habe zwar nicht genau verstanden, wie du es gemacht hast
> zwerglein, aber ich habe selber nochmal nachgerechnet und
> muss mich wohl irgendwie irgendwo vertan haben.
Also die Sache ist doch die: EINfache Nullstellen des Nenners (z.B. x=1)
gehen in die Zerlegung als Bruchterm [mm] \bruch{a}{x-1} [/mm] ein.
Daher wird aus [mm] \bruch{1}{(x+1)(x-1)}
[/mm]
die Zerlegung:
[mm] \bruch{1}{(x+1)(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x-1}
[/mm]
Soweit ist die Sache wohl klar?!
Multiplikation mit dem Hauptnenner (und natürlich Kürzen!) ergibt die Gleichung:
1 = a*(x-1) + b(x+1) (***)
Da diese Gleichung FÜR ALLE x gelten muss, ist das Einsetzen von Zahlen für x BELIEBIG. Man kann also: x=0, x=25, [mm] x=-\pi [/mm] oder sonst was einsetzen, um a und b zu berechnen.
Der schlaue Mensch setzt natürlich solche Zahlen ein, für die eine der beiden Klammern =0 wird, weil man dann a bzw. b aus einer einzigen Zeile berechnen kann!
Beispiel:
Setze x=1 und die Klammer (x-1) bei a wird zu 0.
Daher: 1 = b(1+1) <=> 2b=1 <=> b=0,5
Und setze x=-1; dann wird die zweite Klammer =0.
Daher: 1 = a(-1-1) <=> a = -0,5.
Jetzt alles geklärt?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Do 17.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwerglein!
> Gauner! Die Überschrift stimmt ja gar nicht mit der
> Fragestellung überein!
Das ist meine "Schuld" ...
Diese Frage hing an einer alten Frage mit dieser Überschrift dran. Und durch das Verschieben und "Beförderung" zur eigenständigen Frage wurde die alte Überschrift mit übernommen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
|
